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sphère de Riemann
La sphère de Riemann est obtenue en ajoutant au plan complexe un « point à l'infini. » la projection stéréographique montre que l'espace obtenu est en fait un balle.

en mathématiques et plus précisément dans analyse complexe, la balle Riemann est un particulier surface de Riemann, défini par l'ajout d'un « point à l'infini » pour plan complexe. Il est aussi appelé

Vous pouvez alors voir la sphère de Riemann à partir de perspectives différentes se complètent mutuellement. Dans le niveau algébrique, nous considérons le point à l'infini à la suite de l'opération

Dans ce contexte, le plan complexe étendu est analogue à Réel étendu droite. D'un point de vue topologique, le plan complexe étendu est effectivement un balle, comme le montre projection stéréographique. en analyse complexe La sphère de Riemann est la plus simple surface de Riemann compact puis un objet central de la théorie, ce qui est utile pour définir la meromorphic fonctions.

La sphère de Riemann est centrale dans d'autres domaines géométrie, par exemple, dans la géométrie projective et la géométrie algébrique à titre d'exemple fondamental de variété complexe, espace projectif et variété algébrique.

construction

sphère de Riemann
sphère de Riemann

Elle considère donc une sphère tangente au plan dans son pôle sud comme sur la figure. Le pôle Sud de la sphère coïncide avec l'origine du plan complexe, représenté avec des axes rouges. Ainsi, il établit une correspondance entre les points de la surface sphérique Z et les points du plan complexe z (En bleu sur la figure). Par extension, le point coïncidant avec le pôle Nord est le point à l'infini est représenté par . Avec cette extension, le plan complexe devient plan complexe fermé et une correspondance est appelée projection stéréographique.

Mathématiquement le point à l'infini Il doit être traité comme un point pour lequel l'argument est indéfini, et le module est . A autour du point à l'infini est l'ouvert R \}} « />, à-dire, l'ensemble des plus grands de tous les points de valeur.

Fonctions sur la sphère de Riemann

que la sphère de Riemann, considéré comme le plan complexe combiné avec le point , dans le sens qu'il a clarifié avant. Une fonction Il est appelé méromorphe sur S'il y a deux cartes définies comme suit:

, à savoir l'inclusion.

,(Rappelant la définition ci-dessus )

et de telle sorte que les compositions avec sont méromorphe. On peut montrer que les seules fonctions méromorphes de S sont des fonctions rationnelles (quotients de polynômes ), Comme il descend du théorème de Liouville que chaque fonction holomorphe sur la sphère de Riemann au sens vient de l'expliquer, il est constant.

La sphère de Riemann variétés

La sphère de Riemann est aussi la Alexandrov compactifié du plan complexe, et il est donc homéomorphe , mais comme il est défini une structure complexe précise (chaque point a un quartier biolomorfo ) Vous êtes également que S obtenu est une 1-variété sur le terrain complexe. Un autre fait qui met en évidence l'importance du rôle joué par la sphère de Riemann est une conséquence de théorème uniformisation, qui stipule simplement que les seules variétés liées en premier sont le plan complexe, le plan hyperbolique et la sphère de Riemann. Parmi ces trois la sphère de Riemann est le seul à être une surface fermée (à savoir une surface compact sans bord). puis Il admet une structure complexe unique si la variété considérée comme 1 complexe.

automorphisms

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: transformation Möbius.
sphère de Riemann
Dans la transformation de l'image agent de Möbius dans le plan complexe par projection stéréographique

Comme dans de nombreuses structures mathématiques, même pour la sphère de Riemann l'étude des automorphismes présente un intérêt considérable; automorphismes dans le cas particulier sont réversibles S biolomorfismi lui-même. Les seules caractéristiques qui répondent à ces exigences sont les transformations Möbius, à savoir celles de la forme

avec nombres complexes tels que

Il est particulièrement intéressant de rappeler que S hérite de la structure quand considérée comme un quotient topologique , car cela vous permet de donner une caractérisation des transformations Möbius en termes de projectivities . Par exemple, en utilisant les coordonnées homogènes transformation Möbius peut être écrit:

l'écriture qui montre la correspondance entre les transformations de ce genre et , proiettivizzato du groupe à deux dimensions linéaires du champ complexe.

applications

Le point à l'infini est utilisé dans le calcul des limites de fonctions complexes:

Il est équivalent à considérer la limite:

Plus important encore est la limite:

ce qui équivaut à considérer la limite:

.

bibliographie

  • Serge Lang (1999): Analyse complexe, 4e éd., Springer, ISBN 0-387-98592-1
  • Rudin, Walter, Analyse réelle et complexe, New York, McGraw-Hill, 1987 ISBN 0-07-100276-6.

Articles connexes

  • Analyse complexe
  • fonction holomorphe
  • surface de Riemann
  • transformation Möbius

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