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Remarque disambigua.svg homonymie - Si vous êtes à la recherche d'autres utilisations, voir singularité.

en mathématiques, et plus précisément dans analyse complexe, un singularité isolée est un point où un fonction holomorphe Il ne se définit pas comme il est défini dans un autre point proche. La fonction holomorphe peut avoir au point essentiellement trois types de comportements différents, et en fonction du comportement de la singularité est appelé éliminé, pôle ou essentiel.

définition

les deux un point contenu dans une ouvert la plan complexe. un fonction

Il a singularité isolée en s'il y a un rond de pour lequel la fonction est holomorphe en . Ensuite, la fonction n'est pas définie , tandis que dans un autre point suffisamment proche qu'elle est définie et dérivable au sens complexe.

Développement en série de Laurent

la fonction Il admet un développement en tant que Laurent série le point . La fonction est alors inscriptible dans un voisinage du point comme une série

Il est généralement trois types de comportement à proximité du point de singularité . Chacun d'entre eux est déterminé par le développement local en série Laurent, ou du comportement du module près de l'endroit.

Il convient de noter que le type de singularité est pas uniquement déterminée à partir de la série de Laurent locale si elle a un rayon de convergence positif.

Singularity éliminé

singularité il est éliminé s'il y a limite

Les conditions suivantes sont équivalentes à ceci:

  • termes négatifs de la série Laurent sont tous nuls, à savoir pour chaque .
  • le module Elle est limitée dans un rond de ,
  • La fonction étend à un fonction continue tout au long de ,
  • La fonction étend à un fonction holomorphe tout au long de .

Par exemple, la fonction

Il présente une singularité dans éliminable .

polo

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Pôle (analyse complexe).

singularité est un pôle s'il y a un nombre naturel 0 « /> tel qu'il existe la limite

avec . le nombre est le 'ordre ou multiplicité de la perche. Un pôle d'ordre 1 est dit simple.

Les conditions suivantes sont équivalentes à ceci:

  • Il n'y a qu'un nombre fini (différent de zéro) des termes non nuls négatifs de la série Laurent. Autrement dit, il que et pour chaque .
  • le module elle tend à si elle tend à ,
  • la fonction Il est défini dans un quartier de et a éliminé la singularité .

Exemple: la fonction Il présente un pôle d'ordre 2 (), Également appelé pôle double, en .

Singularity essentiel

Une singularité essentielle est une singularité qui ne tombe pas dans les cas précédents, ce n'est ni une singularité ni éliminable un poteau. Les conditions suivantes sont équivalentes à ceci:

  • Il y a un nombre infini de termes négatifs non nuls de la série Laurent. Autrement dit, pour chaque il y a un avec .
  • le module ne limite pas tendant à

Exemples

chaque fonction

écrit par le rapport de deux polynômes Il est défini à l'air libre obtenu en éliminant la racines de . Si ceux-ci ne sont même pas les racines de , dans tous les la fonction a un pôle, dont l'ordre est égal à la multiplicité de la racine.

la fonction

définie sur Il a une singularité essentielle . En fait, le développement de Laurent est

ayant d'innombrables termes négatifs non nuls.

Même le fait que la fonction ne pas admettre limite (finie ou infinie) à qui tend à 0, il suffit de prouver la nature essentielle de la singularité.

propriété

Traduction de la série Laurent

les deux un entier. La fonction multiplication pour , les coefficients de la série Laurent centrés dans Ils sont décalés par endroits (à gauche ou à droite en fonction du signe de ). De cette façon, il est possible de modifier l'ordre d'un pôle, chaque pôle à son tour singularité éliminable, ou vice-versa créer des pôles de singularité éliminable.

Si la singularité est essentiel, qui reste même après la multiplication par .

Singularity essentiel

Une fonction près d'une singularité essentielle est extrêmement discontinu. pour la Casorati-Weierstrass Théorème, l 'image de chaque ouverture autour de est une ouverture épais du plan complexe. la théorème Picard dit plus: est tout le plan complexe, ou le plan, sauf pour un point.

Il en découle par exemple que pour chaque nombre complexe il y a un succession de points convergent à de telle sorte que . En d'autres termes, la fonction autour « Convergeant à rien. »

Singularity indéfiniment

pour une fonction entière

(Ou plus généralement une fonction holomorphe définie sur le complément d'un compact de ) Vous pouvez parler singularité infiniment. Ceci est la singularité fonction

définie comme . En particulier, la singularité à l'infini peut être éliminé, un poteau ou essentiel. Vous pouvez étudier une singularité à l'infini d'une fonction changer la variable:

puis le point à l'infini devient la source et acquiert le type de singularité de la fonction le point .

la Liouville théorème Il dit qu'une fonction entière ayant la singularité éliminable à l'infini est constante.

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