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en analyse complexe, la résiduel est un nombre complexe qui décrit le comportement de intégrales curvilignes un fonction holomorphe autour d'un singularité isolée.

Les résidus sont calculés facilement et sont un puissant instrument d'analyse complexe, car ils permettent d'évaluer de nombreux Intégrales par le calcul (généralement plus facile) de certains dérivé, par théorème résidu.

définition

les deux un ouvert la plan complexe , et un point de . les deux

un fonction holomorphe que Il a singularité isolée puis un développement local Laurent série

la résiduel de en Il est l'intégrale de le long de la circonférence divisé par :

où le rayon r Il est pris suffisamment petite pour contenir aucune autre singularités isolées. De manière équivalente, le résidu de en Il est le coefficient de Laurent série, et il est indiqué par

La valeur résiduelle ne dépend pas du rayon du cercle le long duquel l'intégration a lieu, mais seulement par le comportement de la fonction au point de singularité.

Intégrales curvilignes

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: théorème résidu.

Le résidu est important car il détermine la 'intégral de le long d'une courbe fermée qui a nombre de spires un autour de la singularité. Par exemple, la courbe

définie sur , pour suffisamment petite pour que son soutien est en fait en . Il est donc

En fait appliquer les égalités

Tous les autres termes En fait, ils ne contribuent pas à l'intégrale, la fonction Il dispose d'une primitive pour chaque différent de , par date . La dernière égalité peut être calculée directement, en traduisant en pour des raisons pratiques:

Calcul du résiduel

Le calcul du résidu d'une fonction en un point dans lequel est particulièrement simple dans le cas du singularité isolée peuvent être éliminés ou pôle. Si la singularité est éliminée alors le résidu est automatiquement nul, alors que si Il est un pôle d'ordre k le résidu:

et en particulier, si Il est un pôle simple (si k = 1), puis le résidu est simplement:

En fait, la série de Laurent est écrit

Il est à l'ordre du pôle. placement

,

vous obtenez une fonction analytique avec développement de Taylor

En comparant le coefficient du terme de degré k-Une des deux séries de g (z), Il est donc

résidu à débordement

Une fonction holomorphe Il est défini dans un autour de l'infini s'il y a un 0 « /> de telle sorte que l'ouverture contient tous avec la forme R « />. Dans ce cas, il est appelé indéfiniment résiduel de comment

Il est une courbe avec un R « /> (Le résultat ne dépend pas de ce choix.)

En particulier, le résidu à l'infini peut être déterminée comme

Ce rapport est issu d'un simple changement de variable (ou transformation conformationnelle) Cela envoie la variable z dans son revers . Il en découle que

Il en résulte alors que la fonction a un point singulier dans le nouveau isolé ω variables où elle est égale à 0. Pour cela on applique ensuite la théorème résidu, d'où il résulte la formule pour le résidu à l'infini. Il convient de noter que la représentation sur la sphère de Riemann Il fournit une représentation mathématique puissante de la situation décrite.

Exemples

exemple 1

les deux , .

parce que Il est autour holomorphe , pour chaque , le développement de Laurent en est le développement de Taylor, ainsi et donc si .

Le développement de Laurent en il est donc et alors .

à , Je considère que la et donc .

exemple 2

les deux , .

Montrer que si ,

et

.

parce que Il est autour holomorphe , pour chaque , le développement de Laurent en est le développement de Taylor, ainsi et donc si , comme dans le cas précédent.

Le développement de Laurent en il est donc et alors .

à , Je considère que la et donc .

exemple 3

les deux , .

parce que Il est de degré 2, mais les deux pôles ont chacun une multiplicité.

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