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en mathématiques et physique, la relation Kramers-Kronig liens du partie réelle et partie imaginaire un fonction analytique complexe, et nommé d'après Hendrik Anthony Kramers et Ralph Kronig.

Le rapport Kramers-Kronig a de nombreuses applications en physique. Un important a une dans l'étude des matériaux dispersifs, comme le 'indice de réfraction exprimée en fonction de longueur d'ondes est un fonction analytique, et sa partie réelle (qui décrit le phénomène de dispersion) Et sa partie imaginaire (qui décrit le phénomène de 'absorption) Ils sont liés par la relation de Kramers-Kronig. Ceci permet d'obtenir la tendance de la dispersion au moyen de mesures d'absorption qui sont beaucoup plus faciles à réaliser. En particulier, la relation de Kramers-Kronig indique que l'absorption est inévitable dans tout support qui présente une dispersion et vice versa.

Le rapport Kramers-Kronig est souvent utilisé pour relier le réel et la partie imaginaire de la fonction de transfert un système causal, comme la causalité implique qu'il est satisfait condition analyticité, et vice-versa. Par exemple, fonctions de green cause à effet (à savoir les fonctions propagation une certaine ampleur en respectant le principe de la causalité) sont des fonctions complexes d'analyse dans le demi-plan supérieur et donc leur partie réelle est liée à leur partie imaginaire par la relation Kramers-Kronig.[1]

définition

les deux une fonction complexe de la variable complexe , avec et nombres réels. Vous mettez que les deux analytique en la moitié supérieure de et disparaît plus vite pour .

Les relations de Kramers-Kronig ont la forme:[2]

désigne la Cauchy valeur principale.

La partie réelle et imaginaire ne sont pas indépendants les uns des autres, et l'ensemble de la fonction peut être construite à partir de l'un d'eux.

dérivation

Compte tenu d'une fonction analytique complexe (au moins dans un demi-plan) , considérer la partie réelle . la transformée de Fourier de Elle est donnée par:

Étant donné que la fonction est analytique, la partie imaginaire est le poursuite analytique la partie réelle, puis:

La deuxième égalité est vrai parce que la transformée de Fourier d'une fonction réelle est symétrique, où si elle est -1 est négatif, +1 si elle est positive et si 0 . Ainsi, écrit avec la transformée de Fourier inverse, vous avez:

Tirer parti théorème de convolution Vous pouvez réécrire le dernier terme en fonction d'un produit de convolution:

et vous avez:

signifie que vous devez prendre la Cauchy valeur principale dell 'intégral.

On obtient ainsi que la partie réelle et la partie imaginaire fonction Ils sont liés par un transformation de Hilbert:

Derivation par le calcul des résidus

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Résidu (analyse complexe).
relations Kramers-Kronig
Intégration Contour utilisé dans les relations découlant des relations de Kramers-Kronig.

Vous pouvez obtenir les relations Kramers-Kronig, y compris la mise en œuvre du théorème résidu pour 'intégration complexe. Étant donné une fonction analytique dans le demi-plan supérieur, pour Real fournit également la fonction Il est analytique dans la même demi-plan. En appliquant le théorème des résidus:

qui applique à chaque courbe fermée dans cette région. Vous choisissez un contour de la zone d'intégration qui chevauche l'axe réel, sauf dans pôle en , qui est entouré, comme indiqué sur la figure, et se prolonge pour l'ensemble de demi-plan. Décomposer l'intégrale séparément afin de mettre en évidence la contribution le long des trois parties du processus d'intégration, la longueur du segment croît proportionnellement à l'infini , mais son intégrale disparaît lorsque plus rapide disparaît . Reste le segment qui chevauche l'axe réel et la courbe qui entoure le mât, et par conséquent l'intégrale devient:[3]

où on obtient le second terme en utilisant la théorie de calcul des résidus.[4] Réécriture la relation précédente est obtenue par la forme compacte des relations Kramers-Kronig:

dans le dénominateur, il fait référence à la connexion entre les composants réels et imaginaires. séparation et on obtient la forme explicite des relations de l'équation dans les parties réelles et imaginaires.

interprétation physique

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Fonction de transfert et système causal.

En physique, une fonction de réponse Il décrit la façon dont une propriété particulière temps d'un système physique change en réponse à une force appliqué au moment .

Considérons un système physique à une sollicitation Il répond avec une fonction en général dépend de la valeur de est à la fois que, dans les premiers temps. la fonction Il est une somme pondérée des valeurs précédentes de pour la fonction de réponse linéaire :

Ceci est le premier terme d'expansion série Volterra. La fonction de réponse est une fonction pour quoi que ce soit , car il est un temps avant l'application de la force. On peut montrer, par le théorème de Titchmarsh, que cette condition causale implique que la transformée de Fourier est un fonction analytique dans le demi-plan supérieur du plan complexe.[5]

Si le système est soumis à une force d'oscillation au fil du temps à une résonance, la fréquence de réponse du système beaucoup plus élevé que la plus haute fréquence n'a pas le temps nécessaire pour se produire avant que la force a changé de direction de manière significative. Par conséquent, avec l'augmentation disparaît . Pour décrire ce phénomène s'applique le formalisme Kramers-Kronig à la fonction .

L'énergie dissipée par le système est décrit par la déplacement de phase la partie imaginaire de la fonction de réponse par rapport à la force appliquée. Les relations de Kramers-Kronig impliquent que la connaissance de cette dissipation vous permet de déterminer la réponse être du système et que, au contraire, la connaissance de ce dernier permet l'étude des phénomènes dissipatives.

Dans de nombreux systèmes physiques la réponse à des fréquences positives permet de connaître la réponse à des fréquences négatives, comme Il est la transformée de la fonction réelle , si . Cela permet d'aller au-delà des difficultés imposées par l'évaluation des intégrales entre et , cela nécessiterait la connaissance de la réponse à des fréquences négatives, et implique que Il est une fonction égal tandis que Il est étrange.

Il permet de limiter le domaine de l'intervalle d'intégration . Compte tenu du premier rapport, qui fournit la partie réelle de , Il multiplie le numérateur et le dénominateur du integrand pour afin d'obtenir une fonction de parité définie:

depuis est une fonction impaire, la seconde intégrale disparaît et on obtient:

Grâce à la même procédure pour la partie imaginaire que vous avez:

Elles sont obtenues de sorte que les relations de Kramers-Kronig appropriées pour la fonction de réponse d'un système physique.

notes

  1. ^ John S. Toll, Causalité et la relation de dispersion: Fondations logiques, en Physical Review, vol. 104, 1956, pp. 1760-1770, bibcode:1956PhRv..104.1760T, DOI:10.1103 / PhysRev.104.1760.
  2. ^ Jackson, Pg 334.
  3. ^ Jackson, Pg 333.
  4. ^ G. Arfken, Méthodes mathématiques pour Physiciens, Orlando, Academic Press, 1985 ISBN 0-12-059877-9.
  5. ^ Jackson, Pg 332.

bibliographie

  • (FR) John D Jackson, électrodynamique classique, 3e édition, Wiley, 1999 ISBN 0-471-30932-X.
  • (FR) Valerio Lucarini, Jarkko J. Saarinen, Kai-Erik Peiponen, relations Kramers-Kronig dans la recherche de matériaux optiques, Springer, 2005 ISBN 3-540-23673-2.

Articles connexes