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la prolongement analytique, en analyse complexe, Il est une technique d'étendre le domaine de la définition d'une fonction fournie uniquement dans un sous-ensemble de son domaine. Dans de nombreux cas, il a un prolongement analytique définissant des valeurs supplémentaires pour une fonction, par exemple dans une nouvelle région, où il n'a plus de sens en termes de représentation interminable défini à l'origine de la fonction. La technique d'extension, cependant, peut rencontrer des difficultés: celles-ci peuvent avoir la nature essentiellement topologique et conduire à des cas réels d'incohérence (définissant la fonction dans plus d'une façon dans le même point, voir fonction polidroma) Ou les obstacles mondiaux. Sinon, les difficultés peuvent avoir à faire avec la présence de singularités. Le cas des fonctions de plusieurs variables complexes est tout à fait différent, parce que les singularités ne peuvent être isolés: l'étude de cette affaire a été l'une des principales raisons qui ont conduit à développer la cohomologie des faisceaux.

up fil

supposer est une fonction analytique sur une partie ouverte la plan complexe . si Il est un sous-ensemble ouvert qui contient le plus grand , et est une fonction analytique définie sur que

puis Il est appelé continuation analytique . En d'autres termes, restriction de à est la fonction où nous avons commencé.

Les extensions analytiques sont uniques dans le sens suivant: si il est lié et et Deux extensions analytiques définie sur , puis partout.

Cela se produit parce que la différence est une fonction analytique qui disparaît sur un ensemble non vide ouvert, et doit donc être identique à zéro.

Par exemple, étant donné un série de puissance avec rayon de convergence autour d'un point de , Vous pouvez être considéré comme les allongements analytiques de la série de puissance, à savoir les fonctions analytiques définies sur des ensembles plus larges de disque ouvert de rayon centré sur , ou, dans les symboles, , qui coïncident avec la série de puissance donnée sur cet ensemble. le nombre Il est maximal dans le sens suivant: il y a toujours un nombre complexe que

et qui ne peut être défini de prolongement analytique de la série en . Par conséquent, il y a des limites sévères à la suite analytique à un plus grand disque avec le même centre . En outre, il peut bien être l'analyse prolongée de certains ensemble plus vaste. Cela dépend du rayon de convergence quand il se développe autour d'un point distincte de ; si elle est supérieure à

alors nous avons le droit d'utiliser l'extension d'un disque ouvert, qui se trouve en partie en dehors du disque d'origine. Dans le cas contraire, il y a frontière naturelle sur le pourtour du bord.

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