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Pôle (analyse complexe)
le module fonction gamma avec quelques pôles.

en mathématiques, et en particulier analyse complexe, pour pôle un fonction holomorphe , Cela signifie singularité isolée la fonction pour laquelle

Le pôle diffère de singularité éliminé et singularité essentielle, pour lesquels cette limite respectivement est terminée et n'existe pas.

La connaissance des caractéristiques des pôles d'une fonction holomorphe est utilisée pour déterminer beaucoup de ses caractéristiques; aussi l'étude des pôles est essentiel dans le calcul des résidu.

Laurent série

Une définition équivalente peut être donnée par Laurent série. Une singularité isolée Il est un pôle si et seulement si le développement local en série Laurent est du type

avec , pour certains 0 « />.

En d'autres termes, une singularité isolée est un pôle si et seulement si la partie principale de la série Laurent dans un quartier du linge de singularité est constitué par un nombre fini de termes, qui est, si les coefficients avec superscript négatif sont un nombre fini non nulle:

Ordre du pôle

L 'ordre le pôle est le nombre naturel les termes qui composent la partie principale de la série Laurent. De même, est un pôle si pour une 0} « /> la limite:

existe, est terminé et est différent de zéro. Dans ce cas, la fonction au point un pôle d'ordre .

Exemples

Une fonction

et ils sont polynômes sans racines en commun (donc la fonction est réduite à un minimum), il est défini sur

sont les racines de . Chacun de ces points est un pôle, dont l'ordre est égal à la multiplicité de la racine. Par exemple,

Il a un pôle d'ordre en et un pôle d'ordre en .

la fonction

Il est défini sur

et il a un pôle d'ordre un sur chaque point . Il a ensuite pôle infini.

fonction méromorphe

Une fonction holomorphe ayant des pôles aux points Il peut être considéré comme une fonction dont domaine Il inclut également ces points, dont codominio est le sphère de Riemann Il suffit d'exiger . Le résultat de cette opération est fonction méromorphe.

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