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en mathématiques, dans la théorie équations différentielles linéaires variable complexe, un point régulier singulier, a également dit singularité fucsiana ou point singulier régler, Il est un type particulier de point singulier en correspondance dont les solutions ne poussent pas plus vite qu'un polynôme. Le nom est dû à Lazarus Fuchs.

Une équation différentielle ordinaire homogène linéaire défini dans le plan complexe, dont les coefficients sont fonctions analytiques, il est appelé équation fuchsiana si tous les points singuliers sont des points sur fuchsiennes sphère de Riemann.

définition

A Date 'équation différentielle ordinaire linéaire n-e année:

avec meromorphic fonctions points , points des points réguliers sont singuliers si chaque solution croît pas plus vite qu'un polynôme . Plus précisément, pour chaque intervalle avec , chaque solution Elle est liée par l'inégalité:

pour une constante 0 « />. le point est régulière si après le changement de variable l'équation a une singularité régulière au niveau du point . Un point singulier qui n'est pas régulière est appelé point singulier irrégulier.

Les équations où tous les points singuliers sont des points sur la sphère de Riemann fuchsien sont appelées équations fuchsiennes. Il est dit que l'équation est classe fuchsiana si les coefficients ont la forme:

avec points distincts et un polynôme de degrés de moins .

Les équations du second degré

Dans le cas d'une équation du second ordre:

le point Il est appelé un point singulier si ou un singularité isolée pour . Le point singulier disent-ils si fuchsiano Il est au plus un pôle d'ordre 1 et est au plus un pôle d'ordre 2. Si tous les points singuliers sont l'équation différentielle fuchsien, l'équation est appelée équation fuchsiana.

Un exemple de fuchsiana équation fuchsien avec trois points est le 'équation Papperitz-Riemann. Chaque équation quadratique ordinaire avec trois points singuliers sur la sphère de Riemann remonte à 'équation hypergéométrique (Qui est obtenue par l'équation de Papperitz-Riemann), tandis que dans le cas où il y a quatre points singuliers peuvent être réduits à la forme de 'équation heun.

théorème Fuchs

Le théorème Fuchs assure que 'rond d'un point singulier régulier, il y a toujours une solution de la forme:

est la solution réelle de la pièce comportant au maximum dell 'équation algébrique second degré:

ladite « équation indicielle » ou « caractéristique » de l'équation différentielle, et la fonction est un fonction holomorphe rien dans . Les coefficients de l'équation indicielles sont dérivés des coefficients comme suit:

bibliographie

Articles connexes

  • heun équation
  • L'équation différentielle de Riemann
  • point singulier irrégulier
  • singularité isolée

liens externes

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