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Padé approximants
Le approximant Padé doit son nom à Henri Padé (1863 - 1953), un mathématicien français.

en mathématiques, et plus précisément dans analyse complexe, l 'Padé approximants Elle constitue une méthode d'approximation d'un fonction analytique avec fonction rationnelle. Il peut être considéré comme un développement de l'extension en fonction Taylor tronqué (développement limité) qui constitue une approximation de la fonction, avec une polynôme.

Comme le développement de Taylor tronquée tend à série de puissance Longueur, qui sous des hypothèses convenables converge vers la fonction initiale, Padé approximant peut être associée à une succession, comme cela est exprimé sous la troncature d'un fraction continue dont la limite est précisément la fonction initiale. En ce sens approchante ils font partie de la théorie générale des fractions continues.

en analyse complexe le approchante fournir un développement de la fonction d'un domaine de convergence parfois plus large que celle de la série de puissance par rapport à la fonction elle-même. Ils vous permettent également d'étendre certaines fonctions analytiques et d'étudier les aspects liés à la question de la séries divergentes. en théorie analytique des nombres approximant permet de mettre en évidence la nature d'un nombre ou d'un fonction arithmétique comme celui qui est appelé Riemann zeta. Nell 'analyse numérique approximant est utilisé par exemple pour évaluer le comportement d'une solution d'un système dynamique dans l'aide la théorie des perturbations.

Le approximant Padé a été utilisé pour la première fois Leonhard Euler (1707 - 1783), Pour démontrer 'irrationalité de et, la base de logarithme naturel. Une technique similaire a permis Johann Heinrich Lambert (1707 - 1777) Pour montrer l'irrationalité de π. Il était alors Henri Padé (1863 - 1953) Qui a développé la théorie.

prémisse

Présentation du sujet

Padé approximants
Charles Hermite Il a utilisé ce qu'on appelle aujourd'hui Padé approximants pour prouver la transcendance de et en 1873

On sait qu'il est utile de pouvoir se rapprocher d'une fonction donnée avec une succession de fonctions facilement studiabili. Cette observation est à l'origine de la théorie des série de puissance qui consiste à rapprocher toujours plus précisément une fonction analytique au moyen de la série de ses développements limités. La théorie correspondante, ainsi que sur les besoins de calcul numérique, affecte de nombreuses autres questions mathématiques. Les développements limités et ainsi également la série de puissance sont utilisés, par exemple, pour le calcul des limites et pour la solution de équations différentielles.

Le dell'approssimante Padé est objectif, à bien des égards, semblable à celle des séries: il approche autant que possible à un fonction analytique au moyen d'un fonction rationnelle. Autant que possible Cela signifie que, pour une paire de nombres entiers positifs (p, q) Date, la fonction rationnelle h(t) / k (t) Est telle que h(t) et k (t) Les polynômes dont le degré ne dépasse pas, respectivement, p et q, et le développement de Taylor de cette fraction coïncide autant que possible à celle de la fonction fa(t). En règle générale, les deux développements coïncident Taylor jusqu'à l'ordre p + q. Une telle fonction est appelée approximation Padé fonction fa(t).

Tout comme il est intéressant de considérer la série de Taylor d'une fonction, il est essentiel d'étudier les propriétés de la séquence approchante qui est plus proche et plus proche de la fonction fa. La série peut toujours être exprimée en fractions continues. Dans le cas de polynômes, les développements limités sont caractérisés par un nombre entier positif, leur degré, avec la variabilité qui est obtenue par la série de puissance. L'approximation de Padé sont caractérisés par une paire de nombres entiers positifs, ce qui conduit à une succession de deux indices dont l'étude est plus complexe. Il existe d'autres facteurs rendent l'approche de l'étude de ces approximation plus complexes. Par exemple, il est possible que la somme, le produit, le Padé de dell'approssimante dérivé ou primitive ne sont pas Padé approximants.

Ces séquences, cependant, offrent des avantages que la série de puissance ne sont pas: en particulier les manifestations de l'irrationalité et la transcendance de π et et Il utilise cette théorie. Les séquences des approximants de Padé ont parfois un autre avantage. Certaines fonctions savent d'abord la façon de traiter avec des séries dont le domaine convergence est limitée par la présence de pôle; un exemple est donné par Fonction Riemann zeta. De nombreuses expressions sous la forme d'une succession de Padé approchante ne présentent pas ce problème. Le fait que le domaine de la convergence d'une série d'approximation Padé est plus large que celle d'une série de puissance est une force non négligeable. L'offre physique ou d'astronomie exemples de cette application. L'étude d'un système dynamique un peu complexe peut nécessiter la théorie des perturbations et les solutions sont souvent des fonctions analytiques exprimées sous la forme de séries, mais la présence de poly implique parfois un rayon de convergence est trop faible pour permettre une analyse réellement utile. Il devient donc nécessaire de trouver une bonne séquence de Padé approximants qui permet d'étudier la fonction analytique dans un domaine de convergence plus large.

Approximation par fraction continue

Un nombre réel peut être constructible approximée par fractions continues avec la précision que vous voulez. Un raisonnement similaire peut être appliqué à des fonctions analytiques.

si t0 Il est une définition du point de fonction du domaine fa et t un scalaire forme strictement inférieur à r, le rayon de convergence de fa le point t0, vous pouvez développer fa en série de puissances de la manière suivante: fa(t0 + t) = Α0 + αn1.tn1 + .... où αn1 et les coefficients suivants sont choisis différents de 0. Pour cette raison, n1 est pas nécessairement égale à 1. Il y a une fonction analytique fa1 tel que 0 appartient ensemble à sa définition et:

Un raisonnement similaire pour la fonction fa1, puis pour fa2, montre que vous pouvez écrire la fonction fa comme suit:

Cet algorithme permet de rapprocher la fonction analytique fa par des fonctions rationnelles. si fa lui-même est une fonction rationnelle, il y a une valeur p que fap est une fonction constante et arrête le processus; sinon, le processus peut se poursuivre que vous le souhaitez. Cette construction est analogue à celle qui conduit à exprimer les nombres rationnels à l'aide de fractions continues.

Pour plus de commodité, nous utiliserons les notations suivantes, a déclaré Pringsheim:

Si le processus s'arrête pe passage, vous obtenez une fonction rationnelle se rapproche la fonction initiale fa. Cette fonction rationnelle est un exemple de Padé approximants. Pour des raisons de simplicité, nous prendrons la valeur de t0 0.

fonction tangente

Padé approximants
Dans cet exemple, la série de approchante Padé élimine les pôles et fournit une approximation des nombres réels, sauf dans les pôles.

Pour illustrer cette procédure, considérons la fonction tangent, Historiquement l'un des premiers exemples [1] fonction analytique dont le rapprochement Padé ont été calculés:

Un premier calcul, par Johann Heinrich Lambert, montrer l'égalité des deux développements, mais ne pas étudier la convergence, ce qui est pas garantie. analyse plus précise montre que si t Il n'est pas la forme kπ + π / 2, où k est un nombre entier, le terme a tendance à droite tan (t).

Nous appliquons l'algorithme de la section précédente au point t0 = 0. La valeur à0 Il est égal à 0 et n1 1. Vous obtenez une première fonction rationnelle h0(t) / k0 (t) Qui se rapproche de la fonction tangente:

Pour procéder devrait exprimer fa1 avec l'aide de développements en série de fonctions Taylor sein et cosinus:

Vous obtenez une expression plus précise de la fonction tangente:

Si l'expression fraction continue est réduite au plus petit dénominateur commun, et si la fraction est notée hn(t) / kn (t), Peut déterminer des expressions définies pour la récurrence de h et k et tracer ces différentes approximations:

approximations successives permettent éliminer les pôles de la fonction de tangente. Sur le réel positif, la seconde approximation, en violet sur la figure, simule le premier pôle avec une asymptote en √3 au lieu de π / 2. La quatrième approximation, en bleu dans l'intervalle [0, π] ne diffère pas dans une mesure visible à partir de la fonction tangente, en rouge dans le graphique. Cependant, il a deux pôles réels positifs. La huitième approximation, en vert, coïncide avec la fonction de tangente dans l'intervalle [0, 2π] et a 4 pôles positifs 3 qui sont visibles sur la figure. En général, si n Il est un entier strictement positif et strettamento positif d'un nombre réel, la série d'approximation converge uniformément sur tous les intervalles [0, π / 2 - ε] et [(2j-1) n / 2 - ε, (2j + 1) n / 2 + ε] où j Il varie de 1 à n.

Cette propriété de éliminer les pôles est l'un des points forts de rapprocher les points de Padé; cet avantage est encore plus prononcée si vous avez à traiter avec des fonctions complexes d'une variable complexe. Une différence de série de puissances, l'approximation de Padé fournir des informations sur la fonction tangente à l'extérieur du rayon du cercle de / 2. Cette propriété, par exemple, est utilisé pour l'étude des Fonction Riemann zeta. En outre, plus simplement, cette fraction continue est l'outil principal avec lequel l'irrationalité de π est démontrée.

fonction exponentielle

Vous pouvez appliquer un algorithme similaire à fonction exponentielle; dans les premières étapes, on obtient les paires de polynômes suivants, dont les rapports fournissent des approximations:

.

Il trouve alors la formule de récurrence:

 ;

de cela, il peut en déduire une expression de fraction continue:

L'algorithme utilisé ici est un peu différent. Les numérateurs sont pas constantes mais plus de fonctions connexes. Cependant, il reste une des propriétés valides: le développement des fractions hp / kp d'ordre égal à la somme des degrés du numérateur et du dénominateur, il est identique à celui de la fonction exponentielle.

Il y a beaucoup de différentes expressions de la fonction exponentielle sous forme de fraction continue. Cela implique une série de questions d'ordre général sur des approximations des fractions rationnelles d'un fonction analytique. Quatre sont particulièrement importants aux yeux de Padé: une paire d'entiers strictement positifs (p, q), Il y a une fraction continue h(x) / k(x) Tel que h(x) Est un polynôme de degré p, k(x) Un polynôme de degré q et que la fraction continue a le même ordre de développement Taylor p + q la fonction exponentielle? Y a-t-il des relations définies par récurrence qui vous permettent de passer à un autre un'approssimante avec l'aide de formules semblables présentées dans cet exemple? Ces formules définies pour la récurrence permettent de fractions continues conclusion? Enfin, ces fractions continues convergent vers la fonction objective?

Ces réponses, tous positifs pour la fonction exponentielle, sont discutés à fond par Padé [2] qui apporte cet exemple pour présenter sa théorie.

Définitions et premières propriétés

définitions

On note fa(t) a fonction analytique en 0 qui ne s'annule pas dans 0. Le fait que cette fonction disparaît pas 0 ne limite pas la généralité de la discussion: si g(t) Est une fonction analytique 0, existe nécessairement une n que g(t) Est égal à tnfa(t), Où fa est une fonction qui satisfait aux hypothèses précédentes. avec p et q On note deux entiers positifs.

Pour la première Padé question associée à sa théorie: les données p et q, il y a une fraction continue h(x) / k(x) Tel que h(x) Est un polynôme de degré p, k(x) Un polynôme de degré q et que la fraction continue a le même ordre de développement Taylor p + q de fa(t)? Cette question conduit à la définition suivante:

  • Un'approssimante de l'indice Padé (p,q) De la fonction fa(t) Désigne une fonction rationnelle h(t) / k(t) Tel que le degré des polynômes h(t) et k(t) Sont respectivement inférieures ou égales à p et q et que le développement de l'ordre Taylor p + q la fraction est identique à celui de la fonction fa(t) Dans 0.[3]

Bien que cette définition est souvent reprise, il est pas tout à fait satisfaisante. Pour réaliser la meilleure chose est de considérer le cas fa(t) Est égal à 1 + t2. Laissez l'approximation de l'indice (1.1): si à + bt Il désigne le numérateur, son produit avec la fonction fa(t) Ne doit pas utiliser le terme du second degré, et cela implique que à Il doit être nul. Le numérateur doit donc être égal à bt. Vous pouvez obtenir l'égalité suivante:

Mais, une fois simplifié les facteurs communs de h(t) et k(t), Est obtenue par approximation de la fonction constante 1. Cet exemple montre qu'il n'y a pas de un'approssimante Padé index (1,1). Pour cette raison, nous avons besoin d'une deuxième définition. Pas plus considéré une fraction qui se rapproche de la fonction fa l'ordre p + q, mais seulement celui qui se rapproche le mieux fa :

  • les termes de synonymes de fractions réduites et réduites (indexp,q) De la fonction fa(t) Désigne une fraction rationnelle h(t) / k(t) Telle que les degrés des polynômes h(t) et k(t) Sont respectivement inférieures ou égales à p et q et tel qu'il n'y a pas de fonction rationnelle u(t) / v(t), Dont les degrés sont inférieures ou égales respectivement à p et q, et dont le développement de Taylor coïncide avec celui de fa(t) À un ordre supérieur ou égal l'ordre dans lequel le développement de Taylor de h(t) / k(t) Coïncide avec celui de fa(t). L'indice réduit (p,q) Est désignée parfois avec fa[P, q](t).

prime propriétés

La définition réduite, moins restrictive que celle de Padé approximants, l'absence d'atténue une réponse positive à la première question. Les deux définitions sont relativement proches:

  • Si une fonction rationnelle est un réduit, alors il existe une paire de nombres naturels tels que cette fraction est un'approssimante Padé ayant comme indice de cette paire.

Pour l'exemple ci-dessus, la fonction constante 1 est l'indice de la fonction de réduction (1,1) 1 + t2. La fonction constante 1 est également Padé un'approssimante des indices (0,0), (1,0) et (0,1). Un résultat clé de cette théorie garantit non seulement l'existence d'un petit mais, dans certaines conditions, aussi son caractère unique:

  • Pour chaque paire (p, q), Il est réduit h(t) / k(t) Index (p, q) De la fonction fa(t). en imposant h(t) et k(t) sont premier d'entre eux et k(t) A un coefficient constant égal à 1, alors h(t) et k(t) Sont uniques.[4]

Les similitudes avec fraction continue Ils sont variés, ce qui justifie un vocabulaire commun. Certains résultats ressemblent à ceux des fractions continues:

  • la fonction fa(t) Est une fraction continue dans un voisinage de 0 si et seulement s'il existe une paire d'entiers naturels (m, n) Tel que chaque indice réduit (p, q) avec p supérieur m et q plus grand n est égal à l'indice réduit (m, n).
  • Siano u (t) et v (t) deux polynômes degrés respectivement m et n. Si la fonction rationnelle u (t) / v (t) Il a le même ordre de développement m + n fonction f (t), il coïncide avec l'indice réduit (M, n) a.

Table Padé

Procédé d'approximation actuelle est la table de Padé. Il se compose d'une table à double entrée dans lequel, en principe, pourrait être étendu aussi loin que vous voulez, dans lequel les coordonnées de la boîte p et q contient l'index réduite (p, q). Cependant, il est dit que les fonctions rationnelles dans des boîtes sont toutes différentes, telles que le tableau montre la fonction arctan (t) / t[5] :

Table Padé
arctan (t) / t
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
5

Ici, les mêmes fonctions rationnelles sont associées à la même couleur. Il est à noter que la fonction similaire à l'autre sont distribués sur place, sauf ceux de la colonne 4, car il manque la colonne 5. Cette propriété est non seulement caractéristique de la fonction arctangente:

  • les deux h (t) / k (t) la réduction f (t), une fonction analytique qui n'est pas une fonction rationnelle. ici, h (t) et k (t) désigner deux polynômes premier, respectivement de grade p et q et de telle sorte que le coefficient constant k (t) est égal à 1. Soit ω le plus grand nombre entier tel que les développements de Taylor de la réduction et f (t) correspondre à l'ordre p + q + ω. L'ensemble des indices associés à la réduction h (t) / k (t) Il est constitué par les paires (P + i, q + j) que la et j décrire l'ensemble des entiers compris (au sens strict) entre 0 et ω.

Si fa Il est une fonction rationnelle, le résultat est le même, mais peut supposer ω la valeur infinie.

notes

  1. ^ Johann Heinrich Lambert Mémoire sur la propriété familiale REMARQUABLES des Quelques transcendantes circulars et Quantités logarithmiques Mémoires de l'Académie des sciences de Berlin, 1761 pp 265-322
  2. ^ Henri Padé Mémoire sur les fractions continue en fonction de Développements la exponentielle Annales scientifiques de la Scuola Superiore 3 normalienà série pp 395-426 (1899) lire PDF
  3. ^ Cette définition a été choisi par exemple de MathWorld sur sa page sur approximants Padé
  4. ^ Cette proposition, la définition réduite, ont été rapportés par Henri Padé dans son article Sur les fractions d'approchées de juin fonction par des fractions rationnelles Annales scientifiques dell'E.N.S. 3à série, Volume 9 pp 3-93 1892
  5. ^ Cet exemple a été choisi par Henri Padé: Sur les fractions d'approchées de juin fonction par des fractions rationnelles Annales scientifiques dell'E.N.S. 3à Volume 9 Numéro de série de la p 16 1892

bibliographie

  • Jean-Étienne Rombaldi (2005): interpolation approximation, analyser l'écoulement Agrégation, Vuibert
  • (FR) C. Brezinski, Zaglia M. R. (1991): Méthodes Extrapolation: théorie et pratique, North-Holland (ISBN 0444888144)
  • (FR) G. A. Baker, P. Graves-Morris (1996): Padé approximants Encyclopedia of Mathematics and its Applications N ° 59 2à ed. (ISBN 0521450071)

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