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Remarque disambigua.svg homonymie - Si vous êtes à la recherche de la méthode d'intégration fonctionnelle en mécanique quantique, voir Intégrale sur les chemins.
ligne intégrale
ligne intégrale

en mathématiques, un ligne intégrale (Ne pas confondre avec le calcul de la longueur d'une courbe en utilisant l'intégration) ou curviligne solidaire est un intégral dans lequel la fonction pour être intégré est évaluée le long d'un chemin ou courbe. Ils sont utilisés une variété de différentes intégrales de ligne. Dans le cas des chemins fermés l'intégrale de ligne est également appelée contour intégral.

La fonction à intégrer peut être champ scalaire ou champ vectoriel. La ligne valeur intégrale est la somme des valeurs du champ en tout point de la courbe, pondérée par une fonction scalaire défini sur la courbe (généralement le longueur d'un arc ou, dans le champ de vecteurs, produit scalaire le champ scalaire avec le support différentiel dans la courbe). Cette « pesée » distingue l'intégrale de la ligne de plus simples Intégrales définies sur intervalles. Beaucoup dans les relations physiques sont formulés en termes de Intégrales curvilignes: par exemple, travail accompli par les forces du champ sur un objet déplacé par un champ électrique ou la gravité, le long d'une trajectoire.

Analyse de vecteur

L'intégrale de ligne d'un champ scalaire est parfois appelée « la première espèce », alors que l'intégrale d'une champ vectoriel Il est « deuxième espèce ».

Sur le plan qualitatif, une intégrale de ligne dans le calcul vectoriel peut être considéré comme une mesure de l'effet d'une donnée champ vectoriel le long d'une certaine courbe.

Intégrale du premier type

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Gamme complète du premier type.

donné une champ scalaire , Elle est définie comme l'intégrale de ligne d'une courbe , paramétrées par , avec , tels que:[1]

où le terme Il indique que l'intégrale est effectuée sur un 'la longueur d'arc. Si le domaine de la fonction il est , l'intégrale curviligne est réduit à la municipalité intégrale de Riemann environ dans la plage (ou , si elle ). Ligne à la famille de Intégrales appartiennent aussi intégrales elliptiques une première et une deuxième espèce, ce dernier également utilisés dans le domaine des statistiques pour le calcul de la longueur de courbe de Lorenz.

Intégrale du deuxième type

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Intégrante des espèces de deuxième ligne.

De même, pour un champ vectoriel , l'intégrale de ligne le long d'une courbe , paramétrées par avec , Il est défini par:[2]

Indépendance du chemin

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: théorème gradient.

Si un champ vectoriel est le pente d'un champ scalaire , à savoir:

puis dérivé de fonction composite de et il est:

qui est l'intégration de l'intégrale de ligne de le long de . Il en résulte que, étant donné un chemin :

En d'autres termes, l'intégrale le long de Il ne dépend que des valeurs aux points et , et il est donc indépendant du chemin particulier. Pour cette raison, un champ de vecteurs qui est le gradient d'un champ scalaire est dit chemin indépendant.

L'intégrale de la ligne est largement utilisé en physique, souvent dans la description champs de force conservateur. Par exemple, le travail effectuée sur une particule qui se déplace sur une courbe dans un champ de forces représenté par un champ de vecteurs Il est l'intégrale de ligne de le long de :

Analyse complexe

L'intégrale de ligne est un outil fondamental dans 'analyse complexe. les deux un ouvert, les deux un courbe rectifiable et une fonction. Ensuite, l'intégrale de la ligne:

Il peut être défini par subdivisant l 'intervalle en et compte tenu de l'expression:

Ceci est l'intégrale limite de cette somme, pour la longueur des subdivisions tendant vers zéro.

si Il est une courbe différentiables avec continuité, on peut évaluer l'intégrale de ligne en tant que partie intégrante d'une fonction réelle d'une variable réelle:

quand Il est une courbe fermée, qui est, sa coïncidence de position initiale et finale, la notation:

Il est souvent utilisé pour l'intégrale de la ligne sur .

Voir les nombres complexes en tant que vecteurs en deux dimensions, l'intégrale de la ligne dans un plan champ vectoriel Elle correspond à la partie réelle de l'intégrale de la ligne du conjugué complexe de la fonction variable complexe correspondant. Plus précisément, si:

puis:

à condition que les Intégrales à droite existent et que le paramétrage de ont la même orientation .

pour 'équations de Cauchy-Riemann, la rotor le champ de vecteurs correspondant à un conjugué de fonction holomorphe Il est nul. pour la théorème résidu, De plus, il utilise souvent une intégrale de contour dans le plan complexe pour trouver l'intégrale d'une fonction réelle d'une variable réelle. Des résultats importants en ce qui concerne la ligne sont Intégrales Integral théorème de Cauchy et Formule intégrale de Cauchy.

Exemples

Considérons une fonction , et la circonférence de rayon unité autour de l'origine, paramétré par:

En remplaçant, il est:

qui peut également être vérifiée avec Formule intégrale de Cauchy.

Mécanique quantique

L ' "Intégration sur les chemins« Utilisé dans la mécanique quantique Il ne se réfère pas aux traités dans cette Intégrales entrée mais une méthode de intégration fonctionnelle, qui est l'intégration d'une promenade spatiale, une fonction de un chemin possible. Cependant, la ligne Intégrales au sens de cette entrée, sont importants dans la mécanique quantique; par exemple, l'intégration complexe le long d'une courbe fermée est souvent utilisée dans l'évaluation de la "amplitude de probabilité en théorie quantique des dispersion.

notes

  1. ^ L.D. Kudryavtsev, Encyclopédie des mathématiques - curvilignes intégrale, encyclopediaofmath.org, 2012.
  2. ^ Eric Weisstein, MathWorld - Ligne intégrale, mathworld.wolfram.com, 2012.

bibliographie

  • (FR) Krantz, S. G. La ligne de complexe intégré. §2.1.6 dans le Manuel des variables complexes. Boston, MA: Birkhäuser, p. 22, 1999.

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