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la lemme du petit cercle (ou lemme du petit arc de cercle) Il est un outil de 'analyse complexe, ce qui permet la résolution particulière intégrale impropre, ayant comme intégrand fonction rationnelle. Ce lemme est divisé en deux parties.

Tout d'abord lemme

les deux un ouvert la plan complexe . les deux un fonction holomorphe, de telle sorte que:

puis:

démonstration

Lemme du petit cercle
La construction d'une courbe lisse parfois pour calculer l'intégrale

Je sais:

0 \, \, \ existe \, \, \ delta (\ varepsilon)> 0 \ ,: \, \ forall \, r<\delta \,\Rightarrow \left|\int _{\gamma _{r}}f(z)\cdot dz\right|<\varepsilon }" />

réécrire le :

0 \ ,: \, \ forall \, z, \ left | z-c_ {0} \ right |<\delta \,\,\Rightarrow \,\left|(z-z_{0})\cdot f(z)\right|<{\frac {\varepsilon }{\phi _{2}-\phi _{1}}}}" />

J'ai donc le calcul de la forme 'intégral:

en ce qui concerne hypothèse , Je peux effectuer tous fraction, et résoudre le 'intégral qui est égale à la longueur de l'arc de circonférence entre les deux coins . Donc:

conclusions

Le premier lemme montre que, étant donné une continue à avec singularité isolée taper éliminable, l'intégrale autour de cette pôle Il est nul. Ce résultat, ce qui est important d'un point de vue théorique, il est moins important du point de vue de la résolution intégrales.

Selon le lemme

les deux avec pôle simple. puis

démonstration

en développant par Laurent série vous obtiendrez:

Il représente le premier terme connu de la partie singulière du Laurent série. En appliquant le signe de l'intégration aux deux membres que je reçois:

la Il est une caractéristique régulière et le premier lemme, calculé avant:

l 'intégral de disparaît.

Parametrizzo mon courbe écluse , , avec . En substituant 'intégral Je vais:

dont le coefficient est juste la .

conclusions

Le second lemme, par rapport à la première, est beaucoup plus utilisé dans la résolution de intégrales, à condition que le pôle présent à la fois du premier ordre, . Pour les commandes plus élevées, le lemme est pas applicable à la résolution des Intégrales.

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