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Remarque disambigua.svg homonymie - Si vous cherchez le théorème Schwarz sur les dérivés partiels, voir Théorème de Schwarz.

en mathématiques, et en particulier analyse complexe, la lemme de Schwarz Il décrit une propriété de fonctions analytiques. Le lemme, qui est nommé Hermann Amandus Schwarz, Il est un résultat mineur, qui est utilisé pour la démonstration d'autres théorèmes plus importants, tels que la théorème de carte Riemann. Il est l'un des résultats les plus simples qui caractérisent la « rigidité » des fonctions analytiques, qui ne trouve pas de similitudes dans le comportement des fonctions réelles.

proposition

les deux la disque unitaire ouverte en plan complexe et les deux une fonction holomorphe que fixé l'origine, à savoir . Ensuite, les relations suivantes:

De plus, s'il y a que

ou

puis est un rotation dans le plan complexe:

démonstration

La preuve utilise essentiellement la principe de module maximal, l'application à la fonction

qui se révèle être analytique dans le disque de l'unité. Compte tenu d'un intérieur vers le disque de l'unité de disque arbitraire ouvert fermé

et en appliquant la principe de module maximal I pour interne et sur la valeur de frontière

Ayant à appliquer à cette arbitrairement proche de , vous avez dont elle est la première partie de la thèse.

Si alors il valait la peine ou en un point puis assumer au maximum dans le disque, ce serait une constante module . puis à savoir c'est la thèse.

Extensions du théorème

la Théorème Schwarz-Pick affirme que, étant donné une fonction holomorphe , Les relations suivantes (avec ):

Utilisation de la poincaré métrique, définie par la fonction:

fonction Il se révèle être un fonction contractile, car elle raccourcit distances entre les points du plan (Théorème Schwarz-Ahlfors-Pick).

Si l'une des expressions ci-dessus l'égalité est vérifiée, alors est un automorphisme analytique, exprimé par un transformation de Möbius.

Le théorème Schwarz peut également être considéré comme un cas particulier de Théorème de Branges.

bibliographie

  • (FR) Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces. New York, Springer-Verlag, 2002 ISBN 3-540-43299-X
  • (FR) S. Dineen, Lemme Schwarz. Oxford University Press, 1989 ISBN 0-19-853571-6

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