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Laurent série
Une série de Laurent est défini par rapport à un point particulier c et une intégration de γ. Un tel chemin doit être contenue dans un anneau (ici en rouge) à l'intérieur duquel fa(z) est holomorphe.

en analyse complexe, la série de Laurent d'une fonction complexe Il est une représentation d'une telle fonction série de puissance qui comprend termes de degré négatif. Cette représentation peut être utilisée pour exprimer une fonction complexe si le développement Taylor Il ne peut pas être appliquée. En fait, il a été découvert en 1841 de Weierstrass, qui, cependant, il n'a pas publié ses résultats: donc prend son nom du mathématicien français Laurent qui a publié à 1843.

définition

La série Laurent pour une fonction complexe en un point Elle est donnée par:

sont des termes constants, définis par un ligne intégrale qui est une généralisation de Formule intégrale de Cauchy:

Le processus d'intégration Il est pris dans un sens anti-horaire autour d'un courbe simple, fermé (ne coupe pas avec lui-même), qui entoure et se trouvant dans un couronne circulaire quand il est holomorphe. Le développement de Il est valable partout dans la couronne. La couronne est en rouge dans la figure de droite, ainsi qu'un exemple d'un chemin d'intégration possible, ici appelé . Dans la pratique, cette formule est très rarement utilisé parce que les Intégrales sont présents, en général, difficile à évaluer; généralement construit série Laurent à partir de combinaisons de développements Taylor déjà connus. les chiffres et Ils sont généralement considérés comme complexe, Bien qu'il existe d'autres possibilités, comme décrit ci-dessous.

La partie négative de la série est appelée Laurent la partie principale la série, tandis que le positif, une partie régulière.

série convergente Laurent

La série Laurent à coefficients complexes est un outil important dans analyse complexe, en particulier pour comprendre le comportement des fonctions près de leur singularité.

Laurent série
et-1 /x² et ses approximations selon Laurent: voir légende dans le texte. L'approximation devient plus précise en augmentant le degré de la série de Laurent négative.

Par exemple, considérons la fonction fa(x) = et-1 /x² et les deux fa(0) = 0. fonction Quelle est la réalité, cela est différentiables fois partout innombrables; comme une fonction complexe il est différentiable en x = 0. Substituer x avec -1 /x2 en série de puissance de fonction exponentielle, vous obtenez sa série de Laurent qui converge et est égal à fa(x) Pour tous les nombres complexes x sauf la singularité x= 0. Le graphique montre et-1 /x² Noir et ses deuxièmes approximations Laurent

pour n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 50. si n → ∞, l'approximation devient exacte pour tous les nombres (complexe) x sauf la singularité x = 0.

En général, la série de Laurent peut être utilisé pour exprimer des fonctions holomorphes définies dans un espace annulaire, ainsi que la série de puissance est utilisé pour exprimer des fonctions holomorphes définies dans un cercle.

supposer

est une date série Laurent à coefficients complexes àn et c à la fois le centre complexe. Ensuite, il existe un rayon intérieur unique, r et un seul rayon extérieur R de telle sorte que:

  • La série Laurent converge dans la couronne ouverte A : = {z : r < |z - c| < R}. Pour la convergence de la série Laurent, on entend que le nombre de puissances de degré positifs aussi bien la série de pouvoir négatif peuvent converger. De plus, cette convergence est uniforme sur une espace compact. Enfin, la série convergente définit une fonction holomorphe fa(z) Sur la couronne ouverte.
  • En dehors de la couronne, la série Laurent divergeant. Cela revient à dire que, en tout point extérieur A, la série de positif au négatif d'un degré ou degré divergent.
  • sur les points frontière Crown, vous ne pouvez pas faire des commentaires généraux.

Il est possible que r est égal à zéro ou R est infinie; d'autre part est pas nécessairement vrai que r est inférieure à R. ces rayons Ils peuvent être calculés comme suit:

Il est considéré comme R sans fin si le dernier limite supérieure Il est égal à zéro.

D'autre part, si l'on part d'une couronne de type A = {z : r < |z - c| < R} Et une fonction holomorphe fa(z) Définie sur A, alors il y a toujours un seul ensemble de Laurent centré sur c qui converge (au moins) de A et représentant la fonction fa(z).

exemple

À titre d'exemple, à la fois

Cette fonction a singularites et , points où le dénominateur de l'expression est annulée et la fonction ne sont pas définis. Vous approximer donc la fonction Taylor, centrée sur les points de singularité, indiquant que l'avance:

  • Le domaine de la convergence de chaque série est le plus grand cercle qui ne contient pas d'autres points de singularité au-delà de son propre centre.
  • Les deux points singuliers sont des pôles de premier ordre (pôles simples): écrire la série de Laurent, vous éprouverez une partie unique composée que d'ici la fin du grade avec un coefficient résiduel .

Enfin, en calculant la série dans un voisinage du point à l'infini, il faut riscontrarne le holomorphie: zéro est en fait la limite calculée dans un voisinage de ce point.

  • Taylor développement centré au point :
.
  • Taylor développement centré au point :
.

Les deux expressions soulignent le rôle singulier qui confirme la nature et pôles simples. Calcul maintenant la convergence des deux séries rayons selon la définition:

-à-dire la distance entre les deux singularités:

Nous avons alors constaté que: « Le domaine de la convergence de chaque série est le plus grand cercle qui ne contient pas d'autres points de singularité au-delà de son propre centre. »

  • Le développement de Taylor dans un voisinage du point à l'infini:

Il est à noter que l'expression de Il est maintenant seulement formé par les puissances négatives  : Cela confirme le fait que, dans un voisinage du point à l'infini la fonction est holomorphe.

exemple

Trouvez la série Laurent pouvoirs de

Premièrement, nous notons que

nous réécrivons

La dernière fraction peut être étendue série géométrique pour près de :

Nous remplaçons l'expression de ce développement et diviser par les deux côtés: nous avons finalement obtenir

Laurent et les résidus de la série

le cas , soit une fonction holomorphe qui ne sont pas définis en un seul point , Il est particulièrement important.

le coefficient développement selon Laurent pour cette fonction est appelée résiduel de dans la singularité ; Ceci est d'une grande importance dans théorème résidu.

exemple

À titre d'exemple, pensez à

Cette fonction est holomorphe partout sauf . Pour déterminer le développement selon Laurent , Vous utilisez la série de Taylor bien connu fonction exponentielle:

on observe que le résidu est .

considérations

La série Laurent a des propriétés importantes dans 'analyse complexe. Considérons la série Laurent d'une fonction dans le domaine annulaire , où évidemment sont les deux des rayons de domaine annulaires de la convergence centrale :

avec

où encore Il est une courbe lisse qui appartient au domaine et qui entoure annulaire .

Rappelons que les coefficients Ils ne sont pas en général la représentation de Cauchy des dérivés -comme dans la fonction dénie le cas de Taylor, à moins que Il n'est pas un point régulier alors la série Laurent coïncide avec la série de Taylor.

série Laurent et de la singularité

  • Dans le cas où tous les coefficients négatifs de la série Laurent sont nuls, la série de Laurent coïncide avec la série de Taylor, à savoir Il serait certainement un point régulier et le domaine annulaire deviendrait un cercle de convergence. Ceci est également inversement: si était pas un point singulier de la fonction alors integrand des coefficients fonctionnerait dans le analytique et l'intégrale de Il serait nul, ce qui annulerait les coefficients d'ordre négatif.
  • La série de Laurent pourrait arrêter dans la partie négative pour un certain , puis le point est un pôle d'ordre k de la fonction, en fait, la série commencerait à partir du côté négatif:

et alors

qui est la définition du pôle d'ordre .

  • Si la série Laurent ne s'arrête pas sur le côté négatif, le point il serait singularité essentielle étant ni un point de branchement (en supposant que les deux monodroma), Ni un poteau et ni singularité éliminé.

bibliographie

  • (FR) Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes, Dover Publications, ISBN 0486685438

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