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en mathématiques, la Formule intégrale de Cauchy Il est un outil clé 'analyse complexe. Le théorème concerne la valeur d'un fonction holomorphe en un point avec un ligne intégrale le long d'une courbe fermée simple.

D'après la formule de Cauchy dépendra d'un certain nombre de propriétés des fonctions analytiques.

proposition

Cauchy.gif de formule

les deux un fonction holomorphe définie sur un ensemble ouvert la plan complexe . les deux un courbe fermée simple contenues dans . les deux la région délimitée par Et les deux sens contraire des aiguilles voyagé tout point intérieur à où la fonction est définie, ce qui ne figure pas sur la courbe , alors la relation suivante:

La formule de Cauchy exprime ainsi la valeur d'une fonction à chaque point du domaine au moyen des valeurs qu'elle prend sur la limite de ce domaine, par l'intermédiaire d'un ligne intégrale.

démonstration

Considérons un cercle centré sur rayon elle est entièrement contenue dans . pour la Integral théorème de Cauchy sont égales les deux intégrales

La seconde intégrale peut être calculée avec le remplacement , obtention

Mais pour la Integral théorème de Cauchy l'intégrale sur le cercle est indépendant du rayon, on peut donc calculer pour tout , en particulier, nous pouvons nous efforcer à , et depuis est continue, on obtient

puis en fin de compte

applications

dérivés

D'après la formule de Cauchy il en résulte que chaque fonction est holomorphe dérivable nombre incalculable de fois. Les dérivés de la fonction peut être calculée par une formule similaire, qui est valable dans les mêmes hypothèses décrites ci-dessus:

démonstration

Considérons une augmentation de sorte qu'il est . En utilisant la représentation intégrale nous écrivons:

Donc:

passage à la limite de vous obtenez:

Pour ce faire, vous pourriez penser à tirer directement sous le signe, mais la justification de cette approche est contenue dans l'analyse précédente. Maintenant, cependant, pour calculer les dérivés que nous pouvons tirer directement successifs sous le signe. Nous avons déjà montré que la formule de dérivation est vrai pour , Par conséquent, nous procédons par induction: nous montrons que s'il est vrai pour il est vrai aussi :

le théorème des médias

La valeur d'une fonction analytique en un point coïncidant avec la moyenne des valeurs prises par la fonction sur les points d'un cercle de rayon arbitraire centré sur , ou

Bien entendu, le rayon doit être choisi de telle sorte que le rebord est entièrement contenu dans le domaine de analicità et ne contient pas de points singuliers.

démonstration

Il suffit d'utiliser le théorème de représentation intégrale sur le cercle de rayon centré sur et utiliser le remplacement obtention

estimations

les deux une fonction limitée , une courbe fermée contenue dans la région de analicità , la longueur de la courbe et la distance minimale entre un point et . Ensuite, appliquez les inégalités suivantes:

démonstration

La preuve est simple, il suffit de prendre les inégalités suivantes dans lesquelles vous avez utilisé L'inégalité Darboux considérant que, et

Inverse du théorème de représentation intégrale

Si une fonction Il peut être écrit sous la forme

et Il est une fonction continue, alors est une fonction analytique au sein du domaine délimitée par la courbe .

démonstration

nous calculons

hypothétiquement Il est continue, et donc limité (sinon nous ne pouvions pas calculer l'intégrale), puis

Par conséquent, il est le dérivé de

mais s'il existe le dérivé applicable conditions Cauchy-Riemann, puis Il est analytique.

bibliographie

  • (FR) A. B. Aleksandrov, Essais sur les classes non convexe localement Hardy V.P. Havin [V.P. Khavin] (ed.) N.K. Nikol'skii (ed.), Analyse complexe et théorie spectrale, Springer (1981) pp. 1-89
  • (FR) M. Christ, J. L. Journé, Les estimations pour les opérateurs intégrés multilinéaires singuliers avec la croissance polynomiale (1986)

Articles connexes

  • Analyse complexe
  • intégration complexe
  • le théorème de module maximal
  • Le théorème de Morera
  • théorème intégral de Cauchy

liens externes