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la Formule de Moivre Elle est l'une des bases de l'analyse des nombres complexes, et est liée à plan complexe, à savoir la représentation des nombres complexes sur un plan, alors que l'axe x de l'axe réel et à l'axe l'axe de l'imaginaire. Il permet d'exprimer l'activité d'un nombre complexe sous sa forme trigonométrique.

valable pour tous les nombres réels , avec plein unité imaginaire, Il est une contribution importante à mathématiques comme il relie nombres complexes un trigonométrie. L'application sur le côté gauche de la développement du binomiale et assimilant les parties réelles et parties imaginaires de l'identité dans la nouvelle forme, vous obtiendrez des expressions utiles pour et en fonction de et . Vous pouvez également utiliser la formule pour trouver des expressions explicites pour les racines -unité décline, à savoir les valeurs des nombres complexes de telle sorte que .

Abraham de Moivre Il était un bon ami newton. en 1698 Il a écrit que la formule était connu pour Newton au moins aussi tôt que 1676. La formule de Moivre peut être dérivé La formule d'Euler, Bien que ce qui précède historiquement, à travers le série de Taylor

et la loi exponentielle

Preuve par induction

On distingue trois cas de, 0 « />, et .

à 0 « /> procéder à induction. à la formule est une simple expression de l'égalité avec elle-même. Comme l'hypothèse d'induction, nous supposons qu'il est valide pour un entier positif , qui est, nous supposons

Considérons alors le cas :

(Pour l'hypothèse d'induction)
(Pour formules d'addition sinus et cosinus)

L'identité dernière dit que la formule, si elle détient pour alors il est valable pour et le principe d'induction mathématique, il est conclu que la formule s'applique à tous entiers positifs.

à la formule est réduite à l'identité simple, , et .

à , compte tenu du nombre entier positif . En conséquence

, comme il est vrai pour 0 « />; la rationalisation du dénominateur
et, pour les propriétés trigonométriques sinus et cosinus,

Ainsi, la formule est vraie pour toutes les valeurs entières . QED

généralisation

la Formule de Moivre Elle est généralisée de la manière suivante.

si et sont des nombres complexes, puis

est une fonction à valeurs multiples, tandis que

il n'est pas, et nous pouvons dire que Il vaut la peine

bibliographie

  • Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, Manuel des fonctions mathématiques, New York, Dover Publications, 1964, p. 74, ISBN 0-486-61272-4.

Articles connexes

  • Abraham de Moivre, Isaac Newton, Euler
  • nombres complexes, trigonométrie
  • polynômes de Chebyshev

liens externes

(FR) Eric W. Weisstein, La formule de De Moivre, en MathWorld, Wolfram Research.