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Remarque disambigua.svg homonymie - Si vous êtes à la recherche d'autres utilisations, voir Les formules d'Euler.
La formule d'Euler
Interprétation géométrique de la formule d'Euler sur plan complexe.

en mathématiques, la La formule d'Euler Il existe une formule dans le domaine de 'analyse complexe ce qui montre une relation profonde entre la fonctions trigonométriques et fonction exponentielle complexe. L 'Identité d'Euler Il est un cas particulier de la formule d'Euler.

La formule d'Euler, du nom mathématique Leonhard Euler, Il a été testé pour la première fois depuis Roger Cotes en 1714 puis la célèbre redécouverte et le rendement par Euler 1748. Ni il a vu l'interprétation géométrique de la formule: la vue des nombres complexes comme des points dans l'avion est venu seulement quelques 50 ans plus tard, grâce au travail de Caspar Wessel, Argand et gauss.

La preuve la plus commune est basée sur le développement Taylor de fonction exponentielle.

la formule

La formule d'Euler précise que, pour chaque nombre réel nous avons:

et est le base des logarithmes naturels, la est le 'unité imaginaire et sein et cosinus ils sont fonctions trigonométriques.

Ceci est un rapport utilisé pour représenter des nombres complexes Les coordonnées polaires, et qui permet la définition du logarithme pour les arguments complexes. La représentation de la fonction etix en plan complexe Il est un cercle unitaire et x est le 'coin qu'un segment reliant l'origine à un point du cercle de base fait avec l'axe réel positif, mesuré dans le sens antihoraire et en radians.

En utilisant les propriétés exponentielles:

valable pour tous les nombres complexes à et b, vous pouvez facilement tirer d'eux un grand nombre identités trigonométriques et Formule de Moivre.

La formule d'Euler permet également d'interpréter les fonctions sinus et cosinus comme de simples variations de la fonction exponentielle:

Ces formules peuvent également être utilisés comme une définition des fonctions trigonométriques pour des arguments complexes , et de relier fonctions hyperboliques avec les fonctions trigonométriques habituelles.

Les deux équations peuvent être trouvées en ajoutant ou en soustrayant les formules suivantes Euler:

x Il est la phase, alors obtenue en résolvant les équations tant pour le sein aussi bien pour le cosinus.

L'identité d'Euler

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Identité d'Euler.

La formule d'Euler donne lieu à une identité considérée parmi des mathématiques le plus fascinant, connu sous le nom Identité d'Euler, qui se rapporte à chacun des cinq autres symboles qui sont à la base des mathématiques: et, la, π, 1 et 0:

En fait, étant pour l'identité d'Euler:

Il suffit de demander x = π, puis:

mais: et

Par conséquent:

Qu'est-ce réécrite:

démonstrations

Il y a plusieurs façons de prouver la formule d'Euler.

fonctions analytiques

Une idée de cette équation peut être obtenue en utilisant le développement en série de fonctions d'analyse et de cosinus sein exponentielle. Les fonctions complexes etz, cos (z) Et le péché (z) Sont définis dans 'un ensemble de nombres complexes comme la limite de la série de puissance suivant:

à Réel coïncident avec ceux-ci l'expansion habituelle Taylor de ses fonctions réelles d'une variable réelle.

Le remplacement avec Vous OBTENU réorganisant la série (qui est justifiée puisque la convergence absolue):

choisir vous obtenez l'identité réelle comme il a été découvert par Euler.

analyse

à , l'exponentielle Elle peut être définie comme étant la limite de la séquence:

à résultats:

En fait, il met:

La succession sous forme trigonométrique est obtenue en plaçant:

et en calculant ensuite le module et l'argumentation le terme entre crochets:

Utilisation de la La formule de De Moivre vous pouvez écrire:

Pour calculer la limite du module et l'argument pour , on sait que:

aussi:

et d'être:

avec:

et

résultats:

Pour le calcul de la limite de l'argument en utilisant la Etat de l'Hôpital de:

Les résultats obtenus reste donc prouvé que:

Sinon démonstration

Les deux:

Ceci est permis parce que la forme exponentielle est le dénominateur:

ce qui implique que etix Il est toujours différent de zéro.

la dérivé de fa Il est, selon le règle de quotient:

donc Il doit être fonction constante, puis par la relation suivante:

on obtient que cette constante doit être égale à 1. Cela signifie que le numérateur et le dénominateur dans la définition de fa Ils doivent être les mêmes pour chaque x, à-dire doit appliquer la formule d'Euler.

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