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l'identité d'Euler
la fonction exponentielle etz Il peut être défini comme limite de (1 + z/N)N pour N qui tend vers l'infini. Par conséquent, et Il est la limite de (1 + iπ / N)N . Dans cette animation, N Elle suppose des valeurs croissantes de 1 à 100. Le calcul de (1 + iπ / N)N Il apparaît que l'effet d'itération de N multiplications plan complexe, avec le dernier point représente la valeur réelle (1 + iπ / N)N . On peut noter, l'augmentation de la N, dans le but de (1 + iπ / N)N la limite -1.

en mathématiques, l 'Identité d'Euler Il est le cas particulier de La formule d'Euler dans lequel la variable est égale à pi grec.

l'identité

L'identité d'Euler est l'équation suivante:

où:

et sont des éléments neutres du produit et la somme, respectivement,
est le base des logarithmes naturels,
est le 'unité imaginaire, la nombre complexe dont le carré est , et
il est pi grec, la relations entre la longueur d'une circonférence et son diamètre.

L'identité est parfois exprimée comme équivalente:

Dans la première formulation, il rend la relation explicite entre les cinq constantes mathématiques qui y sont contenues.

Histoire et signification

L'équation apparaît dans introduction de Euler,[citation nécessaire] publié Lausanne en 1748. L'identité est un cas particulier de La formule d'Euler dell 'analyse complexe, qui stipule que:

pour chaque nombre réel , cos étant le fonction cosinus et puisque la fonction sein. si , puis

et depuis

et

il en résulte que

Perception de l'identité

Benjamin Peirce, le bien connu mathématique et professeur de Harvard la XIXe siècle, après avoir prouvé l'identité dans une leçon, il a dit: « Messieurs, je peux dire avec certitude, il est tout à fait paradoxale, nous ne pouvons le comprendre, et nous ne savons pas ce que cela veut dire mais nous avons prouvé, donc nous savons être la vérité.. "[1] Richard Feynman il a appelé le La formule d'Euler (D'où l'identité a été dérivé) « la formule la plus remarquable en mathématiques ».[2] Feynman, comme beaucoup d'autres, a trouvé cette formule remarquable car il relie des constantes mathématiques très importantes:

  • le nombre , l 'élément neutre pour l'addition (pour chaque , ). vue Groupe (mathématiques) et zéro.
  • le nombre , l'élément neutre pour la multiplication (pour chaque , ). vue 1 (nombre).
  • le nombre Il est crucial trigonométrie; est un stable pour un monde euclidienne, ou pour les petites échelles dans un géométrie non-euclidienne (Dans le cas contraire, le rapport entre la longueur de la circonférence d'un cercle à son diamètre ne serait pas une constante universelle, soit le même pour toutes les circonférences).
  • le nombre Il est une constante fondamentale liée à l'étude logarithmes en analyse (Comme l'étude équations différentielles, par exemple, la solution de l'équation différentielle avec la condition initiale il est ).
  • L 'unité imaginaire (où ) Il est une unité en nombres complexes. L'introduction de cet appareil fait résoluble en terrain des nombres complexes toutes les équations polynôme pas constante (voir Théorème fondamental de l'algèbre).
  • La formule contient une puissance irrationnelle (le nombre irrationnel neperiano , Il d 'un exposant qui contient le facteur irrationnel ), Rare dans les formules mathématiques, et relie les nombres réels irrationnels (), Imaginaire irrationnel (), et des nombres entiers ().

De plus, tous les acteurs de 'arithmétique Ils sont les suivants: égalité, addition, multiplication et exponentiation. Toutes les hypothèses fondamentales de 'analyse complexe Ils sont présents, et l'ensemble et Ils sont reliés au domaine des nombres complexes.

Une recherche[3] réalisé par Semir Zeki la beauté des formules mathématiques effectuées sur 16 mathématiciens, il a montré que la formule d'identité d'Euler est le plus apprécié (avec un score moyen de 0,8667).

notes

  1. ^ Maor, p. 160. Maor cite Edward Kasner et James Newman, Mathématiques et l'imagination, New York: Simon et Schuster (1940), pp. 103-104
  2. ^ Page Feynman. 22-10.
  3. ^ Frontières en neurosciences humaines (voir les liens externes)

bibliographie

  • Richard P. Feynman, Les conférences Feynman sur la physique, vol. Addison-Wesley (1977), ISBN 0-201-02010-6
  • Eli Maor, e: L'histoire d'un certain nombre, Princeton University Press (4 mai, 1998), ISBN 0-691-05854-7

liens externes