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fonction multivoque
Cette correspondance est une fonction multivaluée depuis le 3 est envoyé à la fois b que c

en mathématiques, un fonction polidroma (ou fonction multivocal ou multifonction) Il est fonction qui peut avoir plusieurs valeurs. Les fonctions de polidrome sont utilisées principalement dans analyse complexe.

définition

Siano et deux ensembles. un fonction polidroma de en Il est une fonction

qui associe à chaque élément de un sous-ensemble non vide de (ici est le 'pièces Vue d'ensemble de ).

Une définition équivalente voit une fonction comme un sous-ensemble multivalué la produit cartésien de telle sorte que pour chaque en Il y a au moins un en par quoi (Soit un relation binaire entre et "Total gauche").

Dans le cadre des fonctions polidrome, une fonction dans le sens habituel du terme est appelé monodroma. Dans ce cas, Il est formé par un élément unique pour chaque . En utilisant l'ensemble des parties du problème est contourné en fait d'avoir pour chacun une entrée et un image, associer l'élément de départ un ensemble, qui est un élément unique si on les considère dans l'ensemble des parties de la codominio.

Différence avec les fonctions multivaluées

Il est intéressant de noter la différence entre les caractéristiques et polidrome fonctions vectorielles, à savoir les valeurs dans le produit cartésien des copies de , la distinction entre les deux différences fondamentales:

  • une fonction vectorielle a des images avec un nombre croissant d'éléments fixes car ils sont transporteurs de ; au contraire, une fonction a des valeurs de valeurs multiples cardinalité variables, car ils sont des sous-ensembles arbitraires de .
  • une fonction de vecteur sous forme d'images tuples ordonné, tandis que les fonctions polidrome mal que les images des ensembles, qui sont connus pour être indépendants de l'ordre dans lequel il énumère son intégralité.

Analyse complexe

nième racine

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Unité Root.

Le plus simple et le plus immédiat est la fonction multivaluée racine un autre dans un variable complexe:

comprise comme inverse la fonction monodroma . Utilisation de la représentation polaire et se rappeler que chaque nombre complexe sous forme polaire doit inclure la définition de l'intervalle d'arguments de sorte que le nombre est bien défini, nous avons:

Il est clair que est bien défini (évidemment 0 « />), Mais plutôt l'objet de la nième fonction racine:

Il est clairement pas définitivement déterminé. Cela implique que même si est uniquement déterminé par la détermination première de son sujet, son inverse est pas uniquement déterminée, par conséquent, vous aurez les valeurs, en correspondance avec la valeurs de l'argument de . Pour revenir au même point doit donc effectuer tours autour de l'origine. Il convient de noter que la fonction reste monodroma si nous limitons la définition de l'intervalle d'argument à un secteur entre et .

logarithme

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: logarithme complexe.

Considérons une autre fonction qui est typique multivalué également discontinue dans un rayon sortant de l'origine comme:

à-dire la branche principale de logarithme, où est le phase pour qui prend les valeurs infinies: . Il est évident que cela vaut aussi pour la logarithme naturel et le logarithme d'une base.

À partir du logarithme, vous pouvez également être défini dans le exponentiation sur le terrain à toute base que la fonction multivaluée

sujet

La dernière fonction que nous analysons plusieurs valeurs est l'argument d'un nombre complexe, défini comme

pour chaque nombre complexe non nul . Rappelons que cette définition est logique puisque le 'exponentielle complexe limité à purement nombres imaginaires, par exemple du type , Il prend des valeurs en sphère unité .

Toujours à partir des propriétés exponentielles on obtient est, si est une valeur particulière de l'argument de ,

D'autres caractéristiques de polidromia

Caractéristique de nombreuses fonctions de polidrome est l'existence de points de singularité non isolée qui sont appelés Bifurcation ordre , si faire rpm dans le même sens, la fonction suppose toujours la même valeur initiale; Au contraire, il dit un point de ramification d'ordre infini, si le nombre de fois où il tourne autour du point singulier de la fonction ne retourne jamais à assumer la même valeur initiale. Outre les deux points de branchement à zéro à l'infini et la fonction logarithme est analytique. Cela signifie que vous pouvez développer Taylor dans un cercle de convergence du centre rayon :

Fonctions réelles de polidrome

Typiques et largement utilisés polidrome fonctions à valeurs réelles sont l'inverse de fonctions trigonométriques: Ils sont périodique, puis de façon similaire au logarithme complexe, leur inverse suppose une quantité nombrable des valeurs.

Les branches et les valeurs fondamentales

Tous ces exemples partagent une propriété commune: ils peuvent être considérés comme fonctions inverses une autre application (la puissance pour les racines, l 'exponentiel pour le logarithme). En fait, la fonction inverse est le multifonction plus facile de se rencontrer, car une correspondance a priori Il ne génère pas un élément, mais un ensemble: il est vide si Il ne fait pas partie de l'image , est un singleton pour les valeurs dans lesquelles il est injective, il est un ensemble de plusieurs éléments autrement.

Dans chacun de ces cas, afin d'atteindre une fonction multivocal à un monodroma et utiliser les outils habituels des mathématiques, il est un pré-image est choisi par convention (ou pour d'autres raisons) associer à : Dans le cas de la racine réelle, le choix tombe sur ; à la valeur du logarithme complexe est choisi que ; dans 'arcoseno l 'coin Chosen est toujours celle entre et et ainsi de suite.

Chacune des fonctions de Monodrome qui pourrait être définie comme la variation de choix dans l'ensemble il est dit branche inverse; Le fait choisi par la valeur de convention dit branche principale et la valeur qui assume principale valeur. Par exemple, toujours pour la sein: Les branches de ils sont , , , etc., et la valeur principale de il est , tandis que ses autres principales valeurs ne sont pas .

y théorèmes qui fournissent, en fonction des différentes géométries du domaine, la continuité de ces branches et la relation entre eux: qui se produit, par exemple, l'existence d'une branche continue de l'argument est condition nécessaire et suffisante l'existence d'une branche continue du logarithme.

Articles connexes

  • Analyse complexe
  • Fonction variable complexe
  • série complexe
  • surface de Riemann
  • Relation (mathématiques)
  • Fonction (mathématiques)
  • fonction inverse

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