s
19 708 Pages

en mathématiques, un fonction holomorphe est un fonction définie sur un partie ouverte la plan de nombres de complexes avec des valeurs dans qui est différentiables dans le sens complexe en tout point du domaine. Les fonctions analytiques sont les principaux objets de 'analyse complexe. Ils sont partout en écriture série de puissance ou convergent analytique, et le terme « fonction analytique » est utilisé comme synonyme de fonction holomorphe.[1]

Le différentiabilité complexe dans le sens d'une fonction complexe est une condition beaucoup plus stricte de réel différentiabilité car elle implique que la fonction est nombre incalculable de fois différentiables et qu'il peut être complètement identifié par son Taylor. Dans certains textes les fonctions analytiques (et leurs dérivés) définis sur une ouverture sont appelées fonctions analytiques.

Dans ce contexte, il définit biolomorfismo entre deux ensembles ouverts de une fonction holomorphe qui est injection, surjective, et dont inverse Il est également holomorphe.

définition

les deux un partie ouverte la plan complexe . Une fonction il est dérivable au sens complexe (-différentiable) en un point de s'il y a limite:[2]

La limite doit être comprise par rapport à la topologie le plan. En d'autres termes, pour chaque succession nombre de complexes converger à la quotient doit tendre au même nombre, indiqué par .

la fonction il est holomorphe en si elle est dérivable à chaque point dans le sens complexe de plein air . On dit que Il est holomorphe au point si elle est holomorphe dans un voisinage du point, et plus généralement Il est holomorphe dans un ensemble non ouvert si elle est holomorphe dans un ouvert contenant .

équations de Cauchy-Riemann

La relation entre le différentiabilité des fonctions de fonctions réelles et complexes est le fait que si une fonction complexe

alors il est holomorphe et posséder dérivées partielles brut par rapport à et , et ces dérivés répondent équations de Cauchy-Riemann:

De manière équivalente, le dérivé de Wirtinger de par rapport à conjugué complexe de Il n'y a rien.

propriétés de base

Relation avec netteté

Grâce à l'identification standard avec , une fonction holomorphe particulier se trouve dans une fonction différentiable à partir d'une ouverture en . Mais il est non seulement le contraire: une fonction différentiable est pas nécessairement holomorphe. la équations de Cauchy-Riemann décrire une condition nécessaire et suffisante pour une fonction dérivable est holomorphe.

opérations

l'habituel règles de dérivation généralement défini dans un environnement réel restent valables dans le domaine complexe.[2]

Carte est conforme

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Carte est conforme et respecter Images.

Une fonction holomorphe étant dérivé toujours différent de zéro est un carte conformationnelle, les coins (mais peut changer de zone et longueurs) une carte qui ne change pas. En fait, une fonction holomorphe avec un rien dérivé localement est approchée par une fonction fonction linéaire Un complexe de type

pour un certain nombre complexe . Les cartes linéaires de ce type sont conformes; En fait, l'écriture , vous obtenez

puis la multiplication par Il est géométriquement la composition d'un rotation angle et dilatation facteur : Ces deux opérations sont conformes cartes.

Exemples

fonctions entières

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: fonctions entières.

tous fonctions polynomiales dans la variable complexe avec des coefficients complexes sont holomorphe sur l'ensemble , à-dire qu'ils sont fonctions entières.

Il y a aussi des fonctions entières les fonction exponentielle complexe et fonctions trigonométriques en . (En effet, les fonctions trigonométriques sont exprimées en tant que compositions de la fonction exponentielle des variants à travers le La formule d'Euler).

pas des fonctions entières

la fonction Il est holomorphe sur un complexe d'origine du plan privé:

La branche principale de la fonction logarithme Il est holomorphe sur le sol complexe privé de demi-axe réel négatif:

la fonction racine carrée Il peut être défini comme

et par conséquent, il est holomorphe en tous points du plan complexe dans lequel elle est la fonction logarithmique.

fonctions non analytiques

Les exemples de base des fonctions complexes non holomorphes sont conjugaison complexe, la transition vers partie réelle et la fonction valeur absolue.

fonctions analytiques

Fonction d'analyse

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Fonction d'analyse.

Contrairement à ce qui se passe pour les fonctions différentiables dans un environnement réel, une fonction holomorphe est automatiquement différentiables innombrables fois[3]. La fonction est également exprimée localement par une série de puissances convergentes, ou analytique: Pour chaque point existe domaine 0 « /> que leur Taylor

centré sur est convergente sur le disque ouvert de rayon centré sur

et coïncide avec sur ce disque. En d'autres termes, une fonction holomorphe est localement comme exprimable série de puissance.

La série de Taylor peut converger vers un plus grand disque, pas nécessairement contenu dans le domaine: cela se produit par exemple dans la fonction logarithme défini ci-dessus, si vous prenez un point près de l'axe réel. Ce phénomène est appelé prolongement analytique.

la formule intégrale de Cauchy

la Formule intégrale de Cauchy Il est un outil très puissant dans l'analyse complexe, qui n'a pas de réelles similitudes dans l'analyse. Cette formule se rapporte la valeur d'une fonction en un point avec une intégrale le long d'une courbe qui l'enferme.

Liouville théorème

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: théorème de Liouville (analyse complexe).

la Liouville Il affirme que si un module de fonction entière est limitée sur le plan complexe est alors constante.

fonctions analytiques de plusieurs variables

Une fonction complexe de plusieurs variables est une fonction du type

définie sur une ouverture de . voici holomorphe à un moment donné, si elle est localement développable (dans un polydisque, soit dans un produit cartésien des disques centrés au point) comme une série de puissances convergentes. Il est à noter que cette condition est plus forte que la équations de Cauchy-Riemann; en fait, il peut être exprimé sous la forme suivante:

Une fonction de plusieurs variables complexes est complexe holomorphe apprécié si et seulement si elle satisfait aux équations de Cauchy-Riemann et est localement carré intégrable.

Biolomorfismi

Un biolomorfismo entre deux ouverts et de Il est une fonction holomorphe qui est injection, surjective, et dont inverse Il est également holomorphe. En d'autres termes, un biolomorfismo est isomorphie dans la catégorie des 'analyse complexe.

Il démontre en fait que la fonction d'injection est toujours sur son biolomorfismo image. En conséquence, une fonction bijective holomorphe est automatiquement un biolomorfismo.

notes

  1. ^ (FR) Eric W. Weisstein, Fonction analytique, en MathWorld, Wolfram Research.
  2. ^ à b W. Rudin, p. 197
  3. ^ W. Rudin, p. 208

bibliographie

Articles connexes

liens externes

Activité wiki récente

Aidez-nous à améliorer BooWiki
Commencez