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en mathématiques, un fonction analytique est un fonction exprimé localement par un série de puissance convergé. Souvent, le terme « fonction analytique » est utilisé comme synonyme fonction holomorphe, bien que ce dernier est le plus souvent utilisé pour des fonctions complexes (toutes les fonctions holomorphes sont des fonctions analytiques complexes).[1]

Les fonctions analytiques peuvent être vus comme un pont entre le polynômes et les fonctions génériques. Vous avez la réelles fonctions analytiques et fonctions analytiques complexesCatégories similaires à certains égards, différent dans d'autres. Les fonctions de ce genre sont infiniment différentiables, mais les fonctions analytiques complexes présentent des propriétés qui ne font généralement pas aux fonctions analytiques réelles.

Une fonction est analytique si et seulement si, en tout cas pris un point appartenant au domaine de la fonction, il y a un quartier où la fonction coïncide avec son développement Taylor.

définition

Une fonction Il est analytique sur un ouvert de droit réel si pour chaque en vous pouvez écrire tels que:[2]

où les coefficients Ils sont des nombres réels et série Il est convergente dans un rond de .

En variante, une fonction analytique est une fonction indéfiniment dérivable, qui est un douceur, de sorte que sa série de Taylor

à chaque point appartenant au domaine, converge vers pour dans un quartier de .

L'ensemble de toutes les véritables fonctions analytiques appartenant à un ensemble donné il désigne généralement comment .

Une fonction définie sur un sous-ensemble de la ligne réelle, il est dit analytique réelle au point s'il y a un quartier de dans lequel est analytique réelle.

La définition de fonction analytique complexe Il est obtenu en remplaçant partout « réel » par « complexe ».

Propriétés des fonctions analytiques

Parmi les principales propriétés qui caractérisent les fonctions analytiques sont les suivantes:

  • La somme, le produit et la composition des fonctions analytiques sont analytiques.
  • la mutuel d'une fonction analytique qui est jamais nulle, est analytique, ainsi que l'inverse d'une fonction analytique dont réversible dérivé il est jamais rien.
  • Tous les polynômes sont des fonctions analytiques. Pour un polynôme, l'expansion en série de puissance, il ne contient qu'un nombre fini de termes non nuls.
  • Toutes les fonctions analytiques lisse.

Un polynôme peut ne pas être une valeur nulle dans trop de points à moins qu'il ne le polynôme zéro (plus précisément, le nombre de zéros est au plus égal au degré du polynôme). Une déclaration similaire est vrai, mais plus faible pour les fonctions analytiques. Si tous les zéros d'une fonction analytique Il a point d'accumulation dans son domaine, puis Il est vide de tout le composant lié domaine contenant le point d'accumulation.

Plus formellement, cette déclaration peut être exprimée comme suit. si est un succession Le nombre de distincts tels que pour chaque et cette succession converge à un point dans le domaine , puis Il est identiquement nulle de la composante connectée de contenant . En outre, si tous les dérivés d'une fonction analytique sont égaux à zéro à un moment donné, d'une valeur encore la conclusion précédente.

Ces déclarations impliquent que, malgré les fonctions analytiques ont plus de degrés de liberté que polynômes, cependant, sont encore assez rigides.

Analyticité et différentiabilité

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: fonction holomorphe.

Toutes les fonctions analytiques (réelles ou complexes) à un point sont infiniment dérivable en , où est le rayon de convergence de la série. En outre, il est démontré que, dans la même région de la dérivée de la fonction coïncide avec la série des dérivés (l ' séries dérivées), Ou si:

puis:

De même, étant la limite uniforme d'une suite de fonctions continues (polynômes), chaque fonction analytique est continue (et donc intégrable) sur toute sa convergence ensemble, et sa primitive est le série primitive. En d'autres termes, si:

nous avons:

Toutes les fonctions réelles lisses sont analytiques; par exemple, la fonction définie par:

0 \\ 0 \ texte {if} x \ le0 \ end {cas} « />

Il est lisse mais ce n'est pas analytique 0. Ceci peut être exprimé par l'implication (non réversible):

.

La situation est très différente dans le cas des fonctions analytiques complexes. On peut montrer que tous les fonctions analytiques sur un ensemble ouvert, ils sont analytiques. Par conséquent, analyse complexe, le terme « outil d'analyse » est synonyme de fonction holomorphe.

condition suffisante

Si un fonction réelle variable réelle lisse définie sur un ouvert maggiorabili a tout dérivé des termes d'un suite géométrique (La raison fixe) sur une rond d'un point donné, la fonction est analytique dans quell'intorno. Formellement, les deux et appartenant à et les deux . S'il 0 « /> de telle sorte que:

puis:

En particulier, si une fonction a tout dérivé sur un intervalle limité, il y est analytique (il suffit de demander énoncé précédent). Cela montre que les fonctions que sein, cosinus, exponentiel[3], fonctions hyperboliques Ils peuvent être exprimés en termes de séries sur l'ensemble axe réel:

démonstration

Étant donné que la fonction est lisse, il est possible d'écrire la formule Taylor arrêté pour (Repos selon Lagrange):

si se déplace dans le quartier de rayon vous pouvez utiliser l'augmentation (en valeur absolue) garantie par l'hypothèse:

à savoir la série converge sur le temps à sur l'intervalle , Cqfd

fonctions analytiques réelles et complexes

Les fonctions analytiques réelles et complexes ont des différences importantes (comme vous pouvez le voir dans leur relation différente avec différentiables). Les fonctions analytiques complexes sont plus rigides à bien des égards.

Selon le Liouville, chaque fonction analytique complexe limitée définie sur le plan complexe est constant. Cette déclaration est manifestement faux pour une vraie fonction analytique, comme on le voit à partir

En outre, si l'on définit une fonction analytique complexe dans un ouvrir le bal autour d'un point , son expansion en série de puissances de Il est convergente dans toute la balle. Ce n'est pas vrai en général pour les fonctions analytiques réelles. (Notez qu'une boule ouverte dans le plan complexe serait un disque à deux dimensions, alors que sur la ligne réelle serait intervalle).

Chaque fonction réelle analytique sur un certain ouvert de la ligne réelle peut être étendue à une fonction analytique complexe sur un certain ouvert du plan complexe. Cependant, toutes les fonctions analytiques réelles définies sur toute la ligne réelle peut être étendue à une fonction complexe définie sur tout le plan complexe. la fonction défini à l'alinéa précédent est un contre-exemple.

fonctions analytiques de plusieurs variables

Vous pouvez définir des fonctions analytiques dans plusieurs variables au moyen de la série de pouvoirs dans ces variables (voir série de puissance). Les fonctions analytiques dans plus variables ont certaines propriétés des fonctions analytiques à une variable. Toutefois, en particulier dans le cas des fonctions analytiques complexes, sont des phénomènes nouveaux et intéressants dans de multiples dimensions.

notes

  1. ^ fonctions analytiques d'une variable complexe, Encyclopédie de mathématiques. (Société européenne mathématique pi. Springer, 2015)
  2. ^ (FR) Eric W. Weisstein, Fonction analytique, en MathWorld, Wolfram Research.
  3. ^ Fonction dérivée Ils ne sont pas limités à environ , mais ils sont sur un intervalle borné supérieurement; Par conséquent, Il est développable pour chaque réel, et par conséquent, il est l'ensemble de l'axe réel.

bibliographie

Articles connexes

  • Classe C d'une fonction
  • Fonction complète
  • fonction lisse
  • fonction holomorphe
  • Zone de convergence
  • série Power
  • théorème de Liouville (analyse complexe)

liens externes