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en analyse complexe, pour toute fonction analytique ou, en bref, fonction entière Cela signifie fonction d'une variable complexe, holomorphe à tous les points de plan complexe .

De manière équivalente, il est fonction entière définie d'une fonction variable complexe fa(z) Que pour certains Il peut être exprimé par un développement Taylor

convergente pour chaque valeur de la variable complexe z. En fait, si un développement de la forme précédente existe pour un point c, alors il existe pour chaque point du plan complexe.

Exemples

Les exemples de fonctions entières les plus simples sont fonctions polynomiales et fonction exponentielle; d'autres sont fonctions trigonométriques les fonctions sinus et cosinus sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique et la fonction de distribution gaussienne sont ensemble, comme on peut obtenir avec les compositions ci-dessus à partir de la fonction exponentielle.

La somme, différence, produit, dérivés et la composition des fonctions entières sont des fonctions entières; sont donc les quotients fa/g, mais seulement si tous les zéro g, Il est également zéro fa avec égale ou supérieure à zéro de multiplicité (sinon le quotient est une fonction méromorphe).

De nombreuses fonctions inverses de fonctions entières ne sont pas tout: ils ne sont pas la fonction logarithme, fonction racine carrée, arcoseno, cosinus.

Plus de fonctions entières sont:

  • la fonctions Airy;
  • la fonction d'erreur erf (z) Et ses variantes, la fonction complémentaire de la fonction d'erreur (ERFCz) Et la fonction des erreurs imaginaires Erfi (z);
  • l'inverse de fonction gamma;
  • la Fresnel intégrales;
  • fonction sein solidaire;
  • la fonctions fr;
  • la G fonction de Barnes.

croissance

Un premier outil de la croissance de l'étude l'ensemble des fonctions, ou ce qui devient son grand forme, On estime (valable pour tout fonction holomorphe) Provenant Formule intégrale de Cauchy, selon lequel

M est le maximum |fa | dans le cercle de rayon R et le centre z. Pour les fonctions entières, R peut prendre toute valeur, et peut donc être fait tendance à l'infini. L'application de cette estimation n = 1, on obtient Liouville: Une fonction entière limitée doit être réduite à une constante; c'est un comportement sensiblement différent du cas réel, où il y a des fonctions analytiques (par exemple, le sein) qui restent limitées. En généralisant, on obtient que une fonction qui va croître plus comme un polynôme qualité m (Ie de telle sorte que pour une constante C et pour l'ensemble m) Est en fait un polynôme de degré au plus m.

Ces deux résultats peuvent être reformulée en termes de comportement de la fonction dans le point à l'infini du plan complexe: si une fonction entière a vous singularité éliminé alors il est constant, alors que si elle a un pôle alors il est un polynôme; Par conséquent, toute autre fonction entière a une singularité essentielle infinitum. Lié à cela est la le petit théorème de Picard: Une fonction entière non constante prend comme valeur tout nombre complexe avec au plus une exception. La présence d'exception est nécessaire, par exemple, pour la fonction exponentielle, ce qui est jamais rien.

Une façon de quantifier la vitesse à laquelle il grandit est une fonction donnée par son ordreCeci est défini comme

Mfa(r ) Indique le maximum de la forme fa sous la forme de petits points de r. Par exemple, les polynômes ont ordre 0, commander la fonction exponentielle 1 et la fonction Il est d'ordre infini. Un exemple d'ordre fractionnaire (1/2) est donnée par la fonction (complet) .

Zeri

Comme pour toute fonction holomorphe, l'ensemble des zéros d'une fonction entière ne peut avoir aucun point d'accumulation interne au domaine et, par conséquent, dans ce cas, l'ensemble du plan complexe; En dehors de cette condition, cependant, les zéros d'une fonction entière peuvent être distribués en aucune façon. Dans le cas d'un nombre fini de zéros, il est facile de construire un zéros disparaître de la fonction entière dans les (et seulement celles-ci). Par exemple, une fonction zéro de la multiplicité 0 m (Peut aussi être m= 0), et à1, ..., àn, différent de 0 (où chacun zéro est répétée un nombre de fois égal à sa multiplicité), est donnée par le polynôme

En conséquence, chaque fonction entière avec ces zéros exactement (avec la bonne variété) peut être obtenue en multipliant par produttoria , où g(z) Il est une fonction entière.

Cette construction ne peut être prolongée sans modification à zéro infini, parce que la produit infini Il ne pouvait pas converger (ou convergent, mais pas uniformément, et pas nécessairement à une fonction holomorphe). Il est donc nécessaire d'introduire des facteurs de correction; la théorème de factorisation Weierstrass stipule que toutes les fonctions ensemble fa (z), Avec un ordre zéro m à 0 et les autres zéros à1, à2, ..., àn, ... (Chacune d'entre elles sont répétées conformément à sa multiplicité), il peut être écrit sous la forme

g (z) Il est une fonction entière et

dans lequel hn Ils sont des nombres entiers tels que

Si cette série prend la convergence hn tous égaux à un nombre réel positif à, les τ minimum entre la à qui répondent à cette hypothèse est appelée exposant de convergence de la séquence {|àn|}n. Le théorème de Hadamard λ lie l'ordre d'une fonction entière de la convergence exposant de τ et le degré du polynôme Plus précisément, il a

Merci au théorème Hadamard il peut être démontré que chaque fonction entière de l'ordre fractionnel prend toutes les valeurs dans le plan complexe et encore.

bibliographie

  • Lars Ahlfors, Analyse complexe, troisième édition, McGraw Hill, 1979 ISBN 0-07-000657-1.

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