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en mathématiques, et en particulier calcul infinitésimal et 'analyse complexe, la dérivée logarithmique un fonction derivable est définie comme

où le « désigne l'opération superscript de dérivation. Si en particulier est un fonction d'une variable réelle qui prend des valeurs réelles positives au sens strict, la dérivée logarithmique fournit également le dérivé de logarithme de la fonction, ainsi qu'il ressort de règle de dérivation de la fonction de fonction.

Les formules utilisées pour le calcul de l'infiniment petit de base

Caractéristiques du produit:

fonctions de Quotient:

Pouvoirs des fonctions:

facteurs intégraux

L'attention portée à la dérivée logarithmique est démarré avec la spécification de la méthode de facteur d'intégration pour résoudre équations différentielles du premier ordre. avec notation opératoriel écrire

et représentent M l'opérateur de multiplication pour une fonction donnée sol(x). l'opérateur

pour règle du produit vous pouvez écrire

désigne l'opérateur de multiplication de la dérivée logarithmique de la fonction

Dans la pratique, ayant une forme de l'opérateur

et ayant pour résoudre une équation de la forme

dans la fonction inconnue , connu . Ce problème conduit à la solution de

dont il a la forme de solutions

construit avec tout intégrale indéfinie de .

Analyse complexe

La formule de date peut être plus largement appliquée. Par exemple, si f (z) est un fonction méromorphe, il est logique de l'appliquer à toutes les valeurs z le domaine complexe qui ne sont pas des zéros ou pôle pour fa. En outre, le comportement de la dérivée logarithmique dans un zéro ou un poteau peut être facilement obtenu par les caractéristiques particulières de la fonction.

Considérons la fonction

zn     avec n nombre entier différent de 0.

Sa dérivée logarithmique est

et vous pouvez obtenir la conclusion générale que pour une fonction méromorphe générique toutes les singularités de la dérivée logarithmique sont des pôles simples résiduel n correspondant aux zéros de commande n de fa et résiduel -n en correspondance avec chaque pôle d'ordre n (Voir le principe de l'argument). Ces considérations sont souvent utilisées pour évaluer la limite intégrale.

Fonctions spéciales

Le logatitmica dérivé est utilisé pour introduire diverses fonctions spatiales intéressantes. En particulier, il permet de définir la fonction digamma.

groupe multiplicatif réel

L'utilité de la dérivée logarithmique est basée sur deux propriétés de base de GL1, le groupe multiplicatif des nombres réels ou autres terrain. L 'opérateur différentiel

il est invariante pour translation groupal, par exemple pour le remplacement, X avec aX être à une constante. Par conséquent, il est également invariant forme différentielle

.

pour les fonctions fa valeurs GL1, application

Il est donc une transformation pull-back d'une forme invariante.

Articles connexes

  • inflation, Il est la dérivée logarithmique du prix du panier par rapport au temps.

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