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Nell 'analyse mathématique, l 'intégrante Darboux (ou somme de Darboux) Il est l'une des définitions possibles de intégral un fonction.

L'intégrale de Darboux est équivalent à celui de Riemann, vouloir avec cela pour dire que la fonction est Darboux-intégrable si et seulement si elle est Riemann-intégrable, et les valeurs des deux intégrales, si elles existent, sont égaux les uns aux autres. Les Intégrales de Darboux ont l'avantage d'être plus facile à définir que ceux de Riemann.

Darboux sont nommés Intégrales après leur inventeur, Gaston Darboux.

approche constructive

Darboux intégrale
Somme Darboux: inférieur (vert) et supérieur (vert + jaune)

Considérons une fonction , définie sur un intervalle fermé , qui apparaît sur cet intervalle limité. Divisons l'intervalle par un partition en n intervalles , et les deux grandeurs sont définies pour chaque sous-intervalle:

Ces deux valeurs sont les 'infimum et l 'supremum l'ordonnée de la courbe des points de fonction limitée à la sous-intervalle . Ces valeurs existent certainement, précisément en raison du fait que la fonction est limitée sur tout l'intervalle . Cependant, il est dit qu'ils sont facilement calculables.

il définit Darboux somme inférieure, sur la partition , le nombre réel:

De même, nous définissons la somme supérieure Darboux, sur la partition , le nombre réel:

Notez que la fonction dont nous avons tracé le graphique était choix positif pour la commodité seulement. Est-il un lemme qui déclare que,:

puis, pour chaque paire de partitions de nous avons:

Siano:

une partition de et:

une partition de . A partir du lemme précédent, nous pouvons en déduire que ensembles Ils sont séparés, à savoir:

L 'axiome de Dedekind l'intégralité des il affirme qu'il ya au moins un nombre réel de telle sorte que:

S'il y a un seul élément de séparation entre puis il est dit que Il est intégré dans selon Riemann et l'élément Il est indiqué par:

et il est appelé intégrale définie de en . la numéros ils sont appelés limites de l'intégration et il est appelé integrand. La variable d'intégration, à savoir la variable de la fonction integrand, est une variable fictive, à savoir Il a la même signification , . La forme différentielle est le différentiel la variable d'intégration.

définition

L'intégrale de dans 'intervalle fermé et limité est le limite pour ce qui tend à infini la somme intégrale:

si cette limite Il est fini et ne dépend pas du choix des points en -e de sous-intervalle :

L'existence d'un seul séparateur entre et en définition plus tôt, il est équivalent à exiger que:

dans ce cas:

Si le fonction intégrable Il est positif, l'intégrale prend le sens de zone de la région:

.

Si le fonction change de signe sur l'intégrale représente un somme de zones avec signe différent.

Propriétés de Intégrales

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Riemann Propriétés intégrales.

linéarité

Siano et deux fonctions continu définie dans un intervalle et sont . puis:

additivité

les deux continue et définie dans un intervalle et les deux . puis:

monotonie

Siano et deux fonctions continu définie dans un intervalle et . puis:

le théorème de comparaison

Siano et deux fonctions continu définie dans un intervalle et de telle sorte que en . puis:

valeur absolue

les deux intégrable dans un intervalle , alors vous avez:

le théorème de la moyenne intégrale

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: le théorème de la moyenne intégrale et le théorème moyen pondéré.

si il est continue alors il existe de telle sorte que:

Rien qu'en intervalles intégrales , Il est donné un intervalle , avec . Une cloison de Il est un ensemble fini des points tels que:

écriture , si Il est une fonction à valeur réelle limitée définie sur et une partition de Il se pose:

Ils sont calculés à varier de toutes les partitions , et les deux disent respectivement Intégrales intégrale de Riemann supérieure et inférieure. Si les deux sont égaux Intégrales, ils disent Riemann-intégrable (), Et il est défini comme l'intégrale de Riemann sur la valeur commune des deux intégrales:

Étant donné que chaque fonction sont limitées de telle sorte que pour chaque nous avons:

les intégrales de Riemann supérieure et inférieure sont définies, bien qu'il ne soit pas dit qu'ils ont la même valeur.

Il montre que si et seulement si pour chaque 0 « /> il y a une partition que . Si cette condition est vérifiée pour la partition:

et

puis:

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