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en mathématiques, la ensemble modulaire Un objet fondamental de l'étude la théorie des nombres, géométrie, algèbre et dans de nombreux autres domaines des mathématiques. Le groupe modulaire peut être représenté en tant que groupe transformations géométriques ou en tant que groupe de matrices.

définition

la ensemble modulaire est le groupe tout Fratte transformations linéaires le complexe demi-plan supérieur qui ont la forme

, , et ils sont plein et . L'opération de groupe est le Composition de fonctions. Les éléments du groupe sont appelés transformations modulaires.

Ce groupe de transformations isomorphe un groupe linéaire spécial quozientato avec son centre , où est le matrice d'identité. Cela revient à dire que le groupe modulaire est isomorphe au groupe spécial linéaire projective , qui consiste dans les matrices

, , et sont des nombres entiers, et matrices et Ils sont considérés comme égaux.

présentation

transformations

générer le groupe modulaire, à savoir chaque élément de Il peut être écrit (non unique) tels que la composition des pouvoirs de et .

géométriquement Il représenterenversement par rapport au cercle unité, suivi par réflexion par rapport à la ligne droite , tandis que représente la traduction droit unitaire.

générateurs et satisfaire les relations et . il montre[1] que ceux-ci sont un ensemble complet de relations, de sorte que le groupe modulaire présentation

notes

  1. ^ Robert C. Gunning, Conférences sur les formes modulaires, Princeton, NJ, Princeton University Press, 1962, p. 5-7, ISBN 978-0-691-07995-0.

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