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la théorème principal ou théorème de maître (Également connu sous le nom expert théorème ou Théorème Master) Est un théorème concernant la 'analyse des algorithmes qui fournit une solution asymptotique une famille de les relations de récurrence. Il a d'abord été exposée par Jon Bentley, Dorothea Haken, et James B. Saxe en 1980, où il a été décrit comme procédé unifié[1] pour une famille d'occurrences.[2] Le nom « théorème de maître » a été popularisé par le célèbre manuel Introduction aux algorithmes de Cormen, Leiserson, Rivest et Stein. Il ne fournit pas une solution à toutes les relations possibles de récurrence, et sa généralisation est théorème Akra-Bazzi.

Officieusement, le théorème dit que, étant donné une relation de récurrence sous la forme avec et 1 « />, dans certains cas, vous pouvez obtenir une solution en comparant avec la fonction . si polynôme est asymptotiquement plus petit (plus petit ou au moins un polynôme de facteur ) puis ; si les deux fonctions ont la même ampleur alors asymptotiquement ; Enfin, si Il est alors suffisamment régulière . Non couvert par les cas où le théorème soit supérieure ou inférieure à asymptotiquement dans un non-polynomiale.[3]

proposition

Que ce soit une date relation de récurrence sous la forme[4]

et 1 « /> sont des constantes et Vous pouvez également être interprété comme (entier) Et comme (toute la partie supérieure).

Ensuite, la fonction elle est limitée asymptotiquement selon l'un des trois cas suivants:

  1. s'il y a une constante 0 « /> que , puis ;
  2. si puis ;
  3. s'il existe une constante et un ensemble de telle sorte que , puis .[5]

démonstration

lemme

la somme défini sur les pouvoirs , où et 1 « /> sont des constantes et est pas un comportement négatif, a respectivement asymptotique:

  1. dans l'hypothèse du boîtier 1 du théorème principal, ;
  2. dans l'hypothèse du boîtier 2 du théorème principal, ;
  3. s'il existe une constante et un ensemble de telle sorte que , .

démonstration

cas 1

Pour le cas 1, l'hypothèse implique

qui a remplacé conduit à

.

En recueillant les facteurs communs, ce qui simplifie et en ajoutant la série géométrique tronquée résultante, vous

.

parce que et sont constants, il a

,

et le fait que, depuis Il est une constante,

qui, ensemble, donner

à partir de laquelle la thèse.

cas n ° 2

De même pour le cas 1, pour le cas 2 l'hypothèse implique

qui a remplacé conduit à

.

On procède comme dans le cas précédent, cependant, la série tronquée obtenue n'est pas une série géométrique, mais une série à termes constants

à partir de laquelle la thèse.

cas n ° 3

L'application itérativement Parfois, la prise en charge de la régularité de l'affaire 3, il a

pour des valeurs suffisamment grandes de . Une telle condition est vraie, donc, pour tous, sauf au plus un nombre constant de termes pour lesquels Il est pas assez grand. Comme dans les cas précédents, il remplace la définition de , obtention

Elle représente les termes mentionnés ci-dessus pour ce qui ne vaut pas l'inégalité. En résumé la série géométrique a

et puisque la définition de il contient pour une somme non des termes négatifs, vous aussi . En combinant les deux limites asymptotiques, vous avez .[6]

Preuve du théorème principal

Dans le cas particulier dans lequel Il est défini que sur les pouvoirs exacts de , l'analyse de l'arbre de récursivité sur la relation de récurrence est observé que[7]

.

Ainsi, en appliquant le lemme montré précédemment, il obtient immédiatement la validité du théorème principal dans le cas particulier dans lequel Il est défini sur les pouvoirs . Bien sûr, cela ne suffit pas pour prouver le théorème, mais peut être étendue au cas général en considérant le cas dans lequel apparaissent parties entières supérieur ou inférieur.

Dans le cas d'un haut entier, en considérant l'arbre de récursivité à l'appel la-vec le sujet prend la forme

0 \ end {cas}}} « />.

Étant donné que la définition de toute la partie supérieure vous avez , vous obtenez

.

De cela, il est observé que , puis la profondeur de récursivité le coût du problème est limité par une constante. Il généralise alors la première équation par arbitraire, ne se limite plus aux pouvoirs de

et vous pouvez procéder à l'étude de la somme. Le troisième cas se déroule d'une manière exactement analogue à la troisième cas du lemme. Pour le second cas, de la définition de Big O et se souvenant de l'expression de nous avons qu'il ya une constante 0 « /> et un ensemble de telle sorte que, pour

.

La limite asymptotique obtenu permet de procéder ensuite d'une manière similaire au cas 2 du lemme. Pour le premier cas, d'une manière similaire à ce qui a été fait il est démontré que

ce qui permet de procéder ensuite d'une manière similaire au cas 1 du lemme. Ceci termine la démonstration du théorème principal dans le cas de l'ensemble de la partie supérieure, dans le cas de la partie entière inférieure à la preuve est analogue.[8]

généralisations

Le second cas du théorème principal peut être généralisé par le remplacement seulement de son hypothèse particulière, pour certains et la thèse .[9] Comme on le voit généralement pas le cas pour vous .

la théorème Akra-Bazzi généralise le théorème principal, sous des hypothèses appropriées, par récurrence dans les rapports de forme .

Exemples

cas 1

Les deux date à laquelle la relation de récurrence suivante:

il a , et . puis parce que quand ε = 1, vous pouvez appliquer la cas 1 Théorème Master obtenir la solution

cas n ° 2

Les deux datent relation maintenant récurrence:

quand , et . être et , vaut la cas 2 la Théorème Master, ce qui conduit à la solution

cas n ° 3

Enfin, il est donné la relation de récurrence:

quand , et . être et , où ε ≈ 0,2, le cas 3 la Théorème Master Il ne peut être appliquée si elle vaut la condition de régularité pour . à n assez grand vous pour . Par conséquent, la solution de la récurrence

notes

  1. ^ Tel est le sens d'origine maître au nom.
  2. ^ Jon Louis Bentley, Haken et Dorothea James B. Saxe, Une méthode générale pour résoudre récurrences diviser pour régner, en ACM SIGACT Nouvelles, vol. 12, nº 3, Septembre 1980 pp. 36-44, DOI:10,1145 / 1.008.861,1008865.
  3. ^ Cormen et al., pp. 94-95.
  4. ^ Considérant un algorithme récursif associé à la relation de récurrence, peuvent être interprétées comme les quantités en cause:
    • Il est de la taille d'entrée;
    • algorithme récursif est le nombre d'appels;
    • Il est la taille de l'appel récursif (la partie du problème d'origine représentée dans tous les sous-problème);
    • est la fonction de coût de la subdivision de phase du problème et de la reconstruction de la solution.
  5. ^ Cormen et al., p. 94.
  6. ^ Cormen et al., pp. 100-102.
  7. ^ Cormen et al., pp. 98-100.
  8. ^ Cormen et al., pp. 103-106.
  9. ^ Goodrich Tamassia, pp. 268-270.

bibliographie

  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest et Clifford Stein, Introduction aux algorithmes, 3e éd., MIT Press, 2009, pp. 93-106, ISBN 978-0-262-53305-8.
  • Michael T. Goodrich et Roberto Tamassia, Conception Algorithme: Fondation, l'analyse et les exemples Internet, Wiley, 2002 ISBN 0-471-38365-1.

Articles connexes