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en informatique, la logarithme itéré de n, écrit * log n (En général, lire "astérisque journal« ), Est le nombre de fois que la fonction logarithme Il doit être appliqué itérativement avant que le résultat est inférieur ou égal à 1. La définition formelle la plus simple est le résultat de cette fonction récursive:

1 « /> \ end {cas}}}

Sur les nombres réels positifs, superlogaritmo continue (tétration inverse) est essentiellement équivalente:

mais sur les nombres réels négatifs, log-astérisque est 0, alors que pour x positif, de sorte que les deux fonctions diffèrent dans les arguments négatifs.

logarithme itéré
Figure 1. Démonstration de lg * 4 = 2

En informatique, * est souvent LG- utilisé pour indiquer le logarithme binaire itéré, qui itère au lieu du logarithme binaire. Le logarithme itéré accepte tout nombre réel positif et produit un plein. Graphiquement, peut être compris comme le nombre de « zig-zag » sur la figure 1 nécessaire pour atteindre l'axe intervalle [0, 1] x.

Mathématiquement, le logarithme itéré est bien défini non seulement pour la base 2 et la base et, mais pour toute grande base de .

Analyse des algorithmes

Le logarithme itéré est utile dans l'analyse des algorithmes et complexité de calcul, apparaissant dans les limites de complexité spatiale et temporelle de certains algorithmes tels que:

  • conclusion triangulation de Delaunay d'un ensemble de points connaissant le minimum euclidien spanning tree: temps aléatoire OU(n * log n)[1]
  • Fürer l'algorithme de multiplication d'entiers: O (n enregistrer n 2* lg n)
  • Trouver un maximum approximée (élément important jusqu'à la médiane): * lg n - 4 à * lg n + 2 opérations parallèles[2]
  • algorithme distribué pour une 3 couleurs n-cycle Richard Cole et Uzi Vishkin: OU(Log * n) sessions de communication synchrone.[3][4]

Le logarithme itéré croît à une vitesse extrêmement lente, beaucoup plus lent que le même logarithme. Pour toutes les valeurs de n pertinentes pour compter le temps d'exécution des algorithmes mis en œuvre dans la pratique (c.-à- n ≤ 265536, qui est beaucoup plus grande des atomes dans l'univers connu), le logarithme itéré avec la base 2 a une valeur ne dépassant pas 5.

x * lg x
(-∞, 1] 0
(1, 2] 1
(2, 4] 2
(4, 16] 3
(16, 65 536] 4
(65536, 265536] 5

Les dégâts de base plus itérer mineurs de logarithmes. En fait, la seule fonction couramment utilisée en théorie de la complexité qui croît plus lentement que la inverse de Ackermann.

D'autres applications

Le logarithme itéré est étroitement liée à la fonction arithmétique généralisée logarithmique utilisée avec des index de niveau symétriques. Il est également proportionnel à persistance additif d'un nombre, le nombre de fois où vous devez remplacer le numéro avec la somme de ses chiffres avant d'atteindre sa racine numérique.

Santhanam[5] Il montre que DTIME et NTIME sont distincts jusqu'à

notes

  1. ^ Olivier Devillers, "Aléa donne simples O (n log n *) des algorithmes pour des problèmes ω difficile (n).". International Journal of Computational Geometry applications 2: 01 (1992), pp. 97-111.
  2. ^ Noga Alon et Yossi Azar, "Trouver un maximum approximative". SIAM Journal of Computing 18: 2 (1989), pp. 258-267.
  3. ^ Richard Cole et Uzi Vishkin: "de pièces déterministes lancer des applications à optimale classement liste parallèle", Information et contrôle 70: 1 (1986), p. 32-53.
  4. ^ * Thomas H. Cormen, Charles A. Leiserson, Ronald L. Rivest et Clifford Stein, section 30.5, en Introduction aux algorithmes et structures de données, 1 re éd., MIT Press et McGraw-Hill, 1990 ISBN 0-262-03141-8.
  5. ^ Sur Separators, Segregators par rapport à l'espace et le temps

bibliographie

  • Thomas H. Cormen, Charles A. Leiserson, Ronald L. Rivest et Clifford Stein, 3.2: normes et fonctions communes Notations, en Introduction aux algorithmes et structures de données, 2e éd., MIT Press et McGraw-Hill, 2001 [1990], pp. 55-56, ISBN 0-262-03293-7.

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