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lorsque deux successions sont à la fois infini infinitésimal ou les deux est utile de pouvoir établir une comparaison entre eux afin de comprendre lequel des deux tente plus rapidement à 0 ou l'infini. Cet article fait référence à l'étude asymptotiques pour successions. Des opérations similaires peuvent être faites pour fonctions réelles d'une variable réelle, où au lieu de l'infini peut être tout point d'accumulation commun aux deux fonctions.

Les commandes de l'infini

Une fonction disent-ils interminable en si son limite Il est infini à la tension à . En symboles, si . Par exemple, Il est infini et Il est infini .

Une séquence (qui peut être considérée comme une fonction définie dans les nombres naturels) dit interminable si son limite Il est infini à la tension infinitum. En symboles: si est une séquence de nombres réels, . Pas tout l'infini, cependant, sont identiques les uns aux autres: en fait existe dans un ordre de l'infini, qui dépend du type de performance de fonction à l'infini. Voici quelques types d'infini placés dans l'ordre croissant: , et sont des nombres supérieurs à 1, tandis que Il est l'indice de la séquence.


note: Le signe Il doit être compris dans le sens de 'ou petit.

D'autres exemples

Voici quelques exemples d'ordres infinis liés à des fonctions où Il indique l'ordre de la variable tendant :

commandes infinitésimales

Une fonction disent-ils infinitésimale en si son limite il est de chercher à à . En symboles, si . Par exemple, et Ils sont infinitésimal (Même dans le premier ).

une succession disent-ils infinitésimale lorsque son limite Il est égal à zéro à rechercher infini:

.

En ce qui concerne la succession sans fin existent qui tendent vers zéro plus vite que d'autres; prise mutuel la séquence ci-dessus des inégalités et changeant en vous avez la table correspondante

note: L 'ordre de infinitésimale il est plus grand que celle de , étant donné que ce dernier tend vers zéro plus lentement.

D'autres types de limitations

Voici quelques exemples d'ordres infinitésimales liés aux fonctions:

succession asymptotique

Compte tenu de deux séquences et , disent-ils asymptotique ou équivalent asymptotiquement et il est indiqué par la notation si

(Bien sûr, il faut supposer qu'il ya un que ).

Dans ce cas, vous pouvez créer des chaînes de relations asymptotiques:

Une expression est constituée du produit ou du quotient des facteurs peuvent être estimés facteur de facteur:

le rapport est un relation d'équivalence, comme ils appliquent propriétés réfléchissantes, symétrique et transitif l'opérateur.

Règles de fonctionnement

Les comparaisons entre l'infini et infinitésimale

Siano et deux séquences infinies. pour la limite le rapport que si nous Il est égal à:

  • :
Il est un ordre infini de moins de
  • :
et sont infiniment beaucoup du même ordre
  • :
est un ordre infini supérieur
  • n'existe pas:
et Ils ne sont pas comparables.

appliquent également les implications inverses: si domine alors la limite est infinie, et ainsi de suite.

Le même raisonnement peut être répété pour infinitésimale. Siano et deux succession infinitésimale. pour la limite le rapport que si nous Il est égal à:

  • :
est un infiniment petit d'ordre supérieur
  • :
et Ils sont infinitésimales du même ordre
  • :
Il est un infinitésimal de commande ci-dessous
  • n'existe pas:
et Ils ne sont pas comparables.

remplacement du principe infini

Siano et deux infinis. Dans le calcul de la limite la relation peut être ajouté ou supprimé dans le numérateur et le dénominateur sont d'ordre inférieur infini, d'après ce que nous avons vu dans la section précédente.

En fait, par exemple:

remplacement du principe infinitésimale

Siano , deux succession infinitésimale. Dans le calcul de la limite la relation peut être ajoutée ou supprimée, en une somme de infinitésimale, le numérateur et le dénominateur sont infinitésimales d'ordre supérieur, d'après ce que nous avons vu dans le paragraphe précédent.

Vous pouvez obtenir l'équation suivante utile pour résoudre les problèmes de limites indéterminées:

Par exemple:

Principe de substitution de infinitésimale équivalent

Siano , deux fonctions infinitésimales. Dans la limite du rapport valeur

si elle est et , à savoir si numérateurs et dénominateurs sont asymptotiquement fonctions équivalentes.

Par exemple, étant :

expressions asymptotiques

Dans l'évaluation du comportement asymptotique d'un algorithme Ils sont introduits dans les relations entre les séquences numériques qui sont devenus d'usage courant. Ces notations peuvent également être utilisées pour des fonctions réelles, avec la spécification de la valeur du domaine auquel tend la variable, qui ne peut être .

Régime général

Les définitions que nous allons introduire ci-dessous sont multiples et à première vue peut sembler déroutant, ou il peut être fatigant pour les rappeler tous ensemble et de les comparer les uns aux autres. Pour cette raison, à savoir fournir une vue d'ensemble qui est aussi une mnémotechnique, avant de passer aux définitions strictes et les spécifications illustrent le schéma général si discursive sur lequel ils reposent tous ces concepts.

Presque toutes les définitions que nous devons présenter la structure suivante:

Nous disons que la séquence est un succession , et écrire

si et seulement si:

N, \ \ | f (n) | \ prev \ succ C | g (n) | « />

Entre parenthèses, nous avons précisé les parties de la définition qui varie de temps en temps. au lieu de [Quantifier] Ils peuvent obtenir les deux quantificateurs et , tandis que Il est une relation d'ordre, et peut être ou . Nous avons donc deux paramètres dont chacun peut prendre deux valeurs différentes, de sorte que les définitions possibles seront quatre:

N, \ \ | f (n) | \ leq C | g (n) | « /> N, \ \ | f (n) | \ leq C | g (n) | « />
N, \ \ | f (n) | \ geq C | g (n) | « /> N, \ \ | f (n) | \ geq C | g (n) | « />

Pour distinguer ces quatre cas doivent aussi symbolique qui définit la relation entre et peut prendre quatre valeurs différentes, définies d'une manière quelconque par deux paramètres: l'une qui définit le quantificateur et l'autre qui définit la relation d'ordre.

Ces symboles sont les suivants:

  • ( "Big O") / ( "Ou petit"),
  • ( "Omega grand") / ( "Omega petit").

Comme on peut le voir, il est en effet quatre symboles définis par deux paramètres:

  • Italien / grec
  • petit / grand

Parmi ces deux premiers paramètres, à savoir « italien / grec, » est utilisé pour préciser la relation d'ordre, selon la combinaison suivante:

  • italien:
  • grec:

tandis que le second, à savoir « petit / grand », est utilisé pour spécifier le quantificateur, selon l'association suivante:

  • petit:
  • grand:

Ces associations peuvent sembler décidément controintuive. Par exemple, il semble plus utile d'associer « petit / grand » aux relations d'ordre, de telle sorte que « petit » signifie « petit » (c.-à- ) Et « grand » signifie « plus (c.-à- ). Mais pour la relation d'ordre à l'aide du paramètre impair que nous avons appelé « italien / grec. »

Toutes ces bizarreries apparentes résoudre immédiatement dès que vous faites un peu l'opéra « philologique ». En particulier, il est important de noter qu'à l'origine ce que nous appelons maintenant « ou » était en fait un « omicron », qu'une autre lettre grecque (Big O). En effet, des lettres grecques dans l'alphabet, il y a deux correspondant à notre « ou »:

  • "O-micron," sens "ou petit"
  • Le « O-méga » qui signifie « ou grand. »

Par conséquent, à l'origine de la notation indiquant exactement ce que nous allons nous montrer: « ou petit » ( « Omicron ») allait et « ou grand » ( « Omega ») allait .

En ce qui concerne le paramètre qui, jusqu'à présent, nous avons montré avec « grand / petit, » nous savons que cela est juste une façon familière pour désigner les lettres « majuscules / minuscules ».

Donc, si nous revenons l'utilisation originale de ces symboles, nous avons les associations suivantes:

  • "Microns" ( "petit"):
  • "Mega" ( "grand"):
  • "Tiny":
  • "Caps":

Armé de ce schéma général, qui peut également être utile en règle mnémotechnique, nous essayons d'écrire, par exemple, la définition de l'expression suivante:

Il faut dire que le Il est un « capital o-micron » de . Rappelons que:

  • « Micron » signifie « petit », à savoir ;
  • « Majuscule » signifie: (Au moins une) que ...

Voici la définition recherchée:

Disons si et seulement si:

N, \ \ | f (n) | \ leq C | g (n) | « />

Enfin, nous avons besoin de connaître les implications de toutes ces relations. Ces conséquences peuvent être immédiatement dérivées des considérations suivantes:

1) rappelant que, en général:

puis Il est un « Omicron » (ie « petit ») de ssi Il est un « oméga » (qui signifie « plus grand ») de :

2) Si un rapport est vrai puis en particulier un qui satisfait. Donc, si une séquence Il est un « petit » de la séquence il est également « capital » de celui-ci:

Cela peut aussi être exprimé en disant que l'ensemble d'une certaine fonction « minuscule » est contenue dans l'ensemble de « capital » de cette fonction, et cela vaut aussi pour règle mnémotechnique le paramètre « majuscule / minuscule ».

O grand

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Big O.

Siano et deux fonctions définies sur valeurs .

On dit que est un ou un grand de , en symboles

si 0, N_ {0} \ in N \ colon \ \ \ \ \ forall n \ geq N_ {0}, \ \ | f (n) | \ leq c | g (n) | « />.

Il dit aussi que Il a un ordre de grandeur inférieure ou égale à celle de , -à-dire la fonction domine .

Si la succession a des valeurs nettement différentes de zéro, une condition équivalente, exploitant la limite supérieure, est que les deux .

Exemples

ou petit

On dit que est un o-petits de , en symboles

si

Omega grand

On dit que est un Omega grande de , en symboles

si 0, N_ {0} \ in \ mathbb {N} \ colon \ \ \ \ \ forall n \ geq N_ {0}, \ \ | f (n) | \ GEQ c | g (n) | « />.

Il dit aussi que Il a un ordre de grandeur supérieure ou égale à celle de , ou Elle est dominée par .

En utilisant la notation de limite inférieure, une condition équivalente est que les deux 0 « />

Omega petit

On dit que est un Omega petite de , en symboles

si

Theta

et On dit d'avoir le même ordre de grandeur, en symboles

si 0, N_ {0} \ in \ mathbb {N} \ colon \ \ \ \ \ forall n \ geq N_ {0}, \ \ c_ {1} | g (n) | \ leq | f (n) | \ leq c_ {2} | g (n) | « />.

En utilisant les limites supérieure et inférieure, cette condition peut dire que -->

les expressions asymptotiques Propriétés

Pour les expressions asymptotiques ont les propriétés suivantes:

propriétés de base
  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
implications
  1. .
    à savoir: .
  2. .
Sommes de fonctions
  1. .
  2. .
  3. .
    à savoir .
  4. .
  5. .
produits
  1. à savoir .
  2. .
  3. .


En plus de ceux-ci, dans chacune des notations d'une valeur propriété transitive, qui est, par exemple, si et puis .

la réflexivité et transitivité implique qu'il est pré-commande, dont relation d'équivalence Il est associé à son propre . En fait, de la définition de , il est .

En outre, si est une constante, est sans aucun doute ssi et il est tout aussi définitivement ssi .

Problèmes de notation

la déclaration ou est un grand Il est généralement écrit . Ceci est une légère abus de notation, parce que vous n'êtes pas faire valoir l'égalité des deux fonctions. En outre, la propriété est pas symétrique:

.

Pour cette raison, certains auteurs préfèrent une notation de jeu et d'écriture , pensée comme la classe de toutes les fonctions dominées par , ou d'utiliser une notation introduite par robuste, qui est la suivante:

  et   .

hit-parade

estimé asymptotique
Exemple de notation grand-O: f (x) = O (g (x)), il y a c> 0 et une valeur x0 de telle sorte que la droite de x0 nous avons f (x) < c g(x)
estimé asymptotique
Exemple notation Ω-large: f (x) = Ω (g (x)), il y a c> 0 et une valeur x0 de telle sorte que la droite de x0 Vous avez f (x)> g c (x)

Articles connexes

  • Limite d'une séquence
  • Limite d'une fonction
  • limite remarquable
  • Théorie de la complexité de calcul
  • algorithme

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