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en mathématiques le terme développement asymptotique, ou l'équivalent asymptotique et développement de poincaré Cela signifie un ensemble formel de fonctions, pas nécessairement convergent, de telle sorte que, tronqué à un nombre fini de termes, fournit une approximation d'une fonction donnée pour une valeur particulière.

définition mathématique

les deux un séquence de fonctions en continu dans un domaine donné de telle sorte que détient, pour chaque n (conformément à la notation Landau):

est un point du domaine.

date une fonction continue dans , il est possible de déterminer les coefficients de telle sorte que valable pour tout N:

La série obtenue Il est défini développement asymptotique de en par rapport aux fonctions .

De même, vous pouvez écrire:

Il convient de noter que les coefficients de la série tels que pour satisfaire les conditions ci-dessus sont uniquement déterminées par la relation:

De cette façon, la série asymptotique semble être une généralisation de Série Taylor. Parmi les méthodes pour construire de tels développements: formule d'Euler-Maclaurin et transformées intégrales telles que la transformée de Laplace et Mellin. Souvent incapables de localiser un asymptotique de développement pour effectuer des intégrations répétées par les parties.

Un exemple explicatif

Considérons la fonction intégrale suivante:

Laissez son développement asymptotique pour > 1 « />. Dans ce cas, la solution exploite directement l'identité du série géométrique:

substituant cette expression est obtenue immédiatement que:

Cette expression satisfait toutes les propriétés ci-dessus, vous pouvez conclure que:

On peut également obtenir le même développement en appliquant plusieurs fois l'intégration par parties ou par la méthode asymptotique de Laplace.

Développements remarquables asymptotique

  • Fonction gamma
  • Fonction Riemann zeta

où le sont les nombres de Bernoulli et désigne un facteur d'augmentation. Ce développement est valable pour tous s complexe et est souvent utilisé pour calculer la fonction zeta en utilisant une valeur assez élevée N, par exemple | S | « />.

  • erreur Fonction

convergence

La convergence de la série asymptotique Il peut être étudié facilement par le recours au critère de la racine ou le critère de la relation.

pointwise

Si vous êtes intéressé par la convergence en temps opportun, pour chaque x série asymptotique fixe devient une série de nombres, qui converge (condition suffisante) si absolument convergente, qui est, si la série converge . Dans cette série, vous pouvez être appliqué au critère de la racine ou la relation si:

     ou     

Si la limite existe:

     ou     

alors les conditions suffisantes pour la convergence absolue de la série asymptotique deviennent:

     ou     

Ensuite, condition suffisante pour la série asymptotique converge A Il est à prendre:

convergence uniforme

Souhaitant déterminer si la série asymptotique converge uniformément dans , on peut considérer que la condition suffisante est qu'il converge complètement, à savoir que la série converge .

lieu:

appliquer le critère de la racine ou de la relation de la condition suffisante pour que la convergence de cette série est:

     ou     

série Power

Le cas le plus remarquable et important est que des séries:

où vous avez:

afin que nous puissions prendre:

De plus, si l'on considère un type d'intervalle:

nous avons:

où:

pour lequel la série converge uniformément dans tout intervalle fermé contenu dans l'intervalle ouvert sur lequel converge simplement.

Les méthodes de calcul des asymptotiques

  • Principe de la phase stationnaire
Il est égal à:
  • si Il est stationnaire à un seul point
  • si Elle ne possède qu'un seul point fixe correspondant à la limite inférieure de l'intégrale
  • si Elle ne possède qu'un seul point fixe correspondant à la limite supérieure de l'intégrale
  • Méthode de Laplace [1]
Avec f (t) et g (t) deux fonctions définies dans [a, b], tels fini ou semi-infini que:
  • dans chaque intervalle qui ne contient pas
  • Il est en permanence deux fois différentiables dans un quartier de
  • Il est continue dans un quartier de
  • L'intégrale est absolument convergente pour \ Sigma> 0} « />

bibliographie

  • Arthur Erdélyi (1956): asymptotiques, Douvres
  • N. Bleistein, R. A. Handelsman (1986): asymptotiques de Intégrales, Douvres
  • J. F. W. Olver (1974): Introduction à Asymptotics et fonctions spéciales, Academic Press
  • R. B. Paris, D. Kaminsky (2001): Asymptotics et Intégrales Mellin-Barnes, Cambridge University Press
  • E. T. Copson (2004): asymptotiques, Cambridge University Press
  • E. Whittaker, G. N. Watson (1963): Un cours d'analyse moderne, ed IV., Cambridge University Press (J'éd., p. 150, 1915)

notes

  1. ^ Carlo Bernardi Orlando Ragnisco Paolo Maria Santini, Méthodes mathématiques en physique, p. 204.

  • Carlo Bernarnidi Orlando Ragnisco Paolo Maria Santini, Méthodes mathématiques de la physique, Carocci, 2014 [1993], ISBN 978-88-430-1517-7.

liens externes