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L 'prosthaphaeresis Il a été utilisé au début de la XVI et XVIIe siècle de déterminer de manière approximative le résultat d'une multiplication en profitant de certaines relations trigonométriques. Pendant un quart de siècle, jusqu'à ce que la 1614 avec l'introduction de logarithmes, Il était la seule méthode connue et applicable à grande échelle pour effectuer rapidement le calcul manuel de multiplications. le mot Prosthaphaeresis Il vient de la juxtaposition de deux mots d'origine grecque, prothèse (Πρόσθεσις) et aphérèse (Ὰφαίρεσις), ce qui signifie, respectivement, somme et soustraction, deux étapes de base de l'algorithme.

histoire

La nécessité pratique

Prosthaphaeresis algorithme
Un triangle sphérique

Au XVIe siècle, les flottes européennes qui ont sillonné les mers avec de longs passages océaniques utilisés pour orienter la navigation astronomique dont il a fait usage de éphémérides préparé par les astronomes. Déterminer votre position que le éphémérides a pris pour des objets célestes observables de résolution entraîné équations de trigonométrie sphérique. En fait, il envisage une triangle sphérique comme celui de l'image, appliquer les rapports suivants:

Noto éphémérides d'un nombre suffisant de les variables, l'autre peut être déterminée en résolvant les équations, ce qui implique inévitablement multiplications. Astronomes, à son tour, de rédiger les éphémérides devaient faire des calculs complexes sur trajectoire des objets célestes. Faire face à ces calculs méthode armés seulement scolaire pour le calcul de la multiplication signifiait passer la plupart du temps pour effectuer la multiplication.

Contributions à la définition

la mathématiciens, en particulier ceux qui étaient aussi les astronomes, ont été engagés dans la recherche d'une méthode pour effectuer la multiplication plus facile que les disciplines universitaires et l'un d'entre eux était trigonométrie plus familier. Le prosthaphaeresis a fait son apparition dans 80 ans de « 500, mais ce n'est pas certain qui il était l'auteur. Certes, parmi ceux qui ont aidé devrait être cité Paul Wittich, Ibn Yunis, Joost Bürgi, Johann Werner, Christophorus Clavius et François Viète. En particulier Wittich, Yunis et Clavius ​​sont les astronomes qui plusieurs sources attribuent l'honneur de la définition de l'algorithme. Parmi les partisans les plus connus doivent mentionner Tycho Brahe, qui l'a utilisé intensivement pour ses calculs en astronomie. aussi Napier, qui est connu pour l'introduction de logarithmes qui ont rendu obsolète cet algorithme, il a fait une grande utilité.

curiosité

Alors que le règle à calcul, état basé sur la multiplication des logarithmes, a été conçu quelques années après la définition de l'algorithme, un outil similaire inspiré par la méthode Prosthaphaeresis n'a jamais été conçu jusqu'à récemment, lorsque sa faisabilité a été présentée dans un document de recherche, ce qui lui donne la nom prostaferico slide calculateur de règle.[1]

l'algorithme

Les relations trigonométriques exploitées

L'algorithme n'exploite pas formules Prosthaphaeresis (Comme il est parfois rapporté par erreur), mais les relations trigonométriques maintenant connu sous le nom Werner formules (Par souci de précision, les troisième et quatrième sont deux façons différentes d'écrire la première formule Werner):

On croit que les deux premiers ont été obtenus d'abord par Bürgi.

le processus

Les étapes de l'algorithme, en supposant que souhaitent se prévaloir de la deuxième des relations indiquées, sont les suivants:

  1. escalade: Déplace le virgule décimal à droite ou à gauche autant d'endroits nécessaires pour transformer les deux facteurs de la multiplication du nombre compris entre -1 et 1.
  2. Trouver le 'cosinus: Ils sont déterminés, avec l'utilisation d'un Table trigonométrique, les deux angles dont les cosinus correspondent aux valeurs trouvées à l'étape précédente.
  3. Ajouter et soustraire: Calcul de la somme et la différence des deux angles trouvés dans l'étape précédente.
  4. faire médias de cosinus: On calcule la moyenne ou de la somme, la valeur des cosinus des deux angles identifiés à l'étape précédente (tels cosinus identifiés par l'utilisation de Table trigonométrique).
  5. rééchelonner: Prenez le résultat de l'étape précédente, vous déplacez le point décimal à droite ou à gauche pour un certain nombre de positions égal au déplacement gauche ou à droite effectuée à la première étape pour chacun des facteurs.

Les versions de l'algorithme qui utilisent des autres rapports sont similaires, qui diffèrent par le type de tables trigonométriques impliqué dans la deuxième et la quatrième étape. Cependant, la seconde est la version la plus pratique que la deuxième et la quatrième passe, vous pouvez utiliser la même table avec l'astuce simple à utiliser la colonne de résultat sous la forme d'un indice et l'indice en conséquence.

Exemple d'utilisation

Supposons que nous voulons multiplier 0,0720114 105314 pour disposer d'une table trigonométrique du cosinus avec des détails d'une degré et la précision au quatrième chiffre significatif:

  1. escaladePour le premier facteur déplace le point décimal à la gauche de l'obtention 0.105314 6 positions; pour le second facteur sur la droite par une position de l'obtention de 0,720114.
  2. Trouvez l'arc cosinus: Étant donné que les meilleures approximations disponibles sur la table sont utilisées cos (84 °) (qui vaut 0,1045) et cos (44 °) (qui vaut 0,7193), les deux angles identifiés dans cette étape sont 84 ° et 44 °.
  3. Ajouter et soustraire: 84 ° + 44 ° = 128 °, 84 ° - 44 ° = 40 °.
  4. Moyenne des cosinus: A partir de la table est utilisée qui a cos (128 °) est -0,6157 et cos (40 °) est 0,7660, ce par quoi la somme des semences est 0,07515.
  5. rééchelonner: Déplacement de la virgule décimale à droite de 6 positions, puis à la gauche de 1 est obtenu 7515.

Le résultat était correct 7583,8085796. Il a donc commis une moins de 1% d'erreur, tout en utilisant une table trigonométrique très rugueux. À l'appui de ces plaques ont été définies avec l'algorithme détail égal à deuxième degré et la précision au 14ème chiffre.

Stratégies de confinement d'erreur

La précision du résultat final peut être améliorée si besoin en augmentant la précision de l'exécution des calculs pour les étapes intermédiaires. Les étapes qui nécessitent le calcul des sommes, les différences et les moyennes sont exécutables, même manuellement, de manière simple et avec une grande précision. Les fonctions trigonométriques, en particulier celles inverse (arcsinus et arccosine), sont beaucoup plus ostiche pour le calcul manuel et nécessitent donc l'utilisation des tables trigonométriques mentionnées ci-dessus. Il en résulte que la précision du résultat dépend directement de la précision des cartes qui peuvent être disposés et les mesures qui peuvent être prises dans leur utilisation.

Les tableaux avec plus de détails

Une table avec un détail d'un degré tel que celui pris pour l'exemple, peut impliquer, avoir à choisir la valeur angulaire la plus proche disponible, la mise en place d'une approximation d'environ 0,008726 à la valeur de cosinus dans le pire des cas (angle 89,5 °). L'approximation de la valeur maximale est divisée par deux en doublant les détails, ou par le passage à un détail de degré 1/2. Qu'est-ce qu'il arrive que pour chaque doublement du détail: les planches avec les détails en fonction du degré (c.-à 1/3600 d'un diplôme) donnent une précision d'environ 0,0000024241.

Escalade une position plus

Les fonctions trigonométriques inverses sont problématiques dans le voisinage des valeurs extrêmes +1 et -1 comme mathématiquement ils ont tendance à pointer vers une tangente verticale et pratiquement font constatation contraire à l'intuition, au moyen de tables trigonométriques, angle plus correctes. Par exemple, supposant que vous avez une table avec la précision de l'arc à la quatrième décimale, avoir à chercher le 0,999867 arccosine commet une erreur plus faible que le choix de l'angle indiqué par 0,9998 (1,14 °) plutôt que de 0,9999 (0,81 °) en tant que valeur réelle est de 0,93 °. Si vous ne disposez pas des tables avec plus de décimales, une bonne astuce est de limiter la validité de +0,9 à la fenêtre -0,9, demandant le report d'un poste supplémentaire pour les prochains numéros à l'extrême. Par exemple 980 deviendrait 0,098 au lieu de 0,98. La position est mis à l'échelle comme également récupérée lors de la dernière étape de l'algorithme.

interpolation

Un moyen efficace pour augmenter la précision est la 'interpolation linéaire, en vertu de laquelle vous choisissez une valeur intermédiaire entre ceux correspondant aux deux le plus proche. Par exemple, d'avoir à déterminer le sinus de 45,7 °, et sachant que le sinus de 45 ° est d'environ 0,707 tandis que celle de 46 ° est d'environ 0719, avec l'interpolation linéaire est obtenu:

0,707 + [(0.719 - 0.707) x (45,7 - 45) / (46-45)] = + 0,707 [0,012 × 0,7] = 0,7154.

ce qui est très proche de la valeur correcte (0,7157). L'avantage d'interpolation linéaire est comparable à une augmentation du détail de 250 fois, ou utiliser une interpolation linéaire avec une table de cosinus 180 valeurs est équivalente à l'utilisation d'une table avec des valeurs 45000.

Cependant, alors que l'interpolation linéaire est certainement une méthode facilement réalisable de nos jours avec un programme il voulait imiter l'algorithme, dans les yeux de ceux qui ont dû utiliser la XVIe siècle, cette méthode était malvenue car elle reconduisit au problème initial d'avoir à faire une multiplication (quoique généralement plus facile). Une méthode efficace pour équilibrer le besoin de précision avec la nécessité de procéder rapidement est donc de faire une estimation de la valeur interpolée.

Par exemple, dans le cas précédent, on pourrait dire que 0,7 est d'environ 2/3, étant ainsi la gamme de 0,012 nous avons estimé:

2/3 × 0,707 + 0,012 = 0,715

qui est cependant plus précise, que la prise de la valeur directement à partir de la table.

Exemple d'utilisation avec interpolation

Nous répétons le calcul de l'exemple précédent en tirant également parti de l'interpolation estimée alors:

  • escaladePour le premier facteur déplace le point décimal à la gauche de l'obtention 0.105314 6 positions; pour le second facteur sur la droite par une position de l'obtention de 0,720114
  • Trouvez l'arc cosinusCeci est la première étape dans laquelle l'interpolation peut aider:
en 0.105314
de la table, nous voyons que cos (84 °) vaut 0,1045) et cos (83 °) vaut 0,1218
0.105314 se pose à propos de 1/20 intervalle (0,000814 à 0,0173 est d'environ 8 sur 160)
arccosinus peut alors être estimée à 84 ° - 0,05 ° = 83,95 °
en 0.720114
de la table, nous voyons que cos (44 °) vaut 0,7193 et ​​cos (43 °) vaut 0,7313
0.720114 se situe à environ 1/15 l'intervalle (0,000814 à 0,0120 est d'environ 8 sur 120)
arccosinus peut alors être estimée à 44 ° - 0,07 ° = 43,93 °
  • Ajouter et soustraire: 83,95 ° + 43,93 ° = 127,88 °, 83,95 ° - 43,93 ° = 40,02 °
  • Moyenne des cosinus: C'est la deuxième étape dans laquelle l'interpolation peut aider:
à 127.88 °
de la table, nous voyons que cos (127 °) et applique -0.6018 cos (128 °) applique -0,6157
127,88 ° survient à environ 1/10 de la distance (0,12 sur 1 est d'environ 10 sur 100)
puisque la plage est 0,0139 (0,0140 ≈), la apportabile de correction valeur d'environ 0,0014
le cosinus peut alors être estimé à -0,6157 + 0,0014 = -0,6143
à 40.02 °
de la table, nous voyons que cos (40 °) vaut 0,7660 et cos (41 °) vaut 0,7547
40,02 ° survient à environ 1/50 de la distance (0,02 sur 1 est d'environ 2 sur 100)
puisque la plage est 0,0113 (0,0100 ≈), la apportabile de correction valeur d'environ 0,0002
cosinus peut alors être estimé à ,7660 à 0,0002 = 0,7658
de sorte que la somme des graines est 0,07575
  • rééchelonner: Déplacement de la virgule décimale à droite de 6 positions, puis à la gauche de 1, on obtient 7575

Le résultat était correct 7583,8085796. Il a donc commis une erreur de 0,1% l'an prochain. L'utilisation de l'interpolation, bien que de manière approximative, a donc permis d'augmenter la précision d'un ordre de grandeur.

notes

sources