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en mathématiques, un 'algèbre de Lie (Nommé Sophus Lie) Il est structure algébrique principalement utilisé pour l'étude d'objets géométriques analytiques tels que groupes de Lie et différentiables.

définition

algèbre de Lie est une structure constituée d'une espace vectoriel sur un certain terrain (Par exemple reals, la nombres complexes, ou champ fini) Et opérateur binaire , dire Support de Lie, qui satisfait les propriétés suivantes:

  1. il est bilinéaire, à savoir et pour chaque ;
  2. répond à la 'identité Jacobi, à savoir pour chaque ;
  3. il est nilpotent, à savoir pour chaque .

Notez que les première et troisième propriétés impliquent ensemble pour chaque , à savoir 'antisymétrie Lie du produit: l'antisymétrie implique au contraire si la propriété 3 il a caractéristique différent de 2. Notez également que le support de Lie est en général pas associatif, à savoir .

Exemples

  • algèbre de Lie est dit commutatif Allongez si le produit fournit le vecteur zéro pour tous x et y. Chaque espace vectoriel devient une algèbre de Lie trivialement abélien si elle est enrichie d'un produit identique Lie zéro.
  • la espace euclidien R3 l'équipement devient une algèbre de Lie du produit Lie fourni par le produit externe (produit vectoriel) Entre les vecteurs.
  • Considérons un 'algèbre associative A que l'on note la multiplication avec ; cela peut se transformer en une définition de l'algèbre de Lie .

Cette expression est appelée interrupteur de x et y. A l'inverse, il peut être démontré que toute algèbre de Lie peut être considéré comme sous-algèbre d'un autre formé de cette manière d'une algèbre associative.

  • D'autres exemples importants de algèbres de Lie proviennent de topologie différentielle. considérer la champs de vecteurs un différentiables V, à savoir les changements X que, pour une fonction fa sur V associer une autre fonction du même genre, X fa, et la formation d'un espace vectoriel de dimension infinie. Pour deux de ces champs de vecteurs X et Y le produit de Lie [X, Y] Est défini comme: [X, Y] fa = (XY - YX) fa pour chaque fonction fa sur V. De cette façon, vous obtenez l'algèbre de Lie du groupe de Lie de dimensions infinies de difféomorphismes de la variété.
  • L'espace vectoriel des champs de vecteurs invariants gauche sur un groupe de Lie Il est fermé dans cette opération et est donc une algèbre de Lie en dimension finie. Sinon, vous pouvez penser à l'espace vectoriel algèbre sous-jacente de Lie associé à un groupe de Lie l'espace tangent à l'identité du groupe d'éléments. La multiplication est le groupe différentiel interrupteur (à,b) | → aba-1b-1 l'identité de l'élément.
  • A titre d'exemple concret, nous considérons le groupe de Lie SL (n,R) De toutes les matrices carrées n×n avec des composants réels et déterminant 1. L'espace tangent à la matrice d'identité peut être détectée dans l'espace des matrices n×n avec la piste zéro, et la structure d'algèbre de Lie résultant du groupe de Lie coïncide avec celle qui résulte des commutateurs pour la multiplication matricielle.

Pour plus d'exemples de groupes de Lie et algèbres de Lie article associé: sur groupe de Lie.

Homomorphismes, algèbres et idéaux

un omomorfismo φ: g → h entre deux algèbres de Lie g et h sur le même camp de base fa Il est défini comme carte fa-linéaire de telle sorte que [φ (x), Φ (y)] = Φ ([xy]) Pour tous x et y en g. La composition de ces homomorphismes est encore un homomorphisme et algèbres de Lie sur le terrain fa, en même temps que ces morphisms forment un catégorie. Si cela est un homomorphisme bijective il est appelé isomorphie, et les deux algèbres de Lie g et h ils sont appelés isomorphe.

un sous-algèbre de l'algèbre de Lie g est un sous-espace vectoriel h de g de telle sorte que [xy] ∈ h pour tous x, yh: Un tel est alors sous-algèbre lui-même une algèbre de Lie.

un idéal de l'algèbre de Lie g Il est un sous-espace h de g de telle sorte que [ày] ∈ h pour tous àg et yh. Idéaux sont algèbres spéciales. si h Il est un idéal g puis l'espace quotient g/h Il devient une algèbre de Lie en définissant [x + h, y + h] = [x, y] + h pour tous x, yg. Les idéaux sont précisément les noyau de homomorphismes, et le théorème fondamental de homomorphismes est également vrai de l'algèbre de Lie.

Classification des algèbres de Lie

Algèbres de Lie nous savons une classification tout à fait satisfaisant et cela fournit une aide considérable à la classification des groupes de Lie. Chaque algèbre de Lie de dimension finie réelles ou complexes peut être réalisé que l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie réel ou complexe simplement connecté (Théorème de Ado[1]). Cependant, ils peuvent être plus groupes de Lie, pas non plus simplement connectés, qui donnent lieu à la même algèbre de Lie. Par exemple, les groupes SO (3) (matrices orthogonales ayant un revenu réel avec 3 x 3 déterminant 1) et SU (2) (matrice avec des entrées complexes unitaires 2 × 2 dont le déterminant est 1) à la fois donner lieu à la même algèbre de Lie, à savoir la R3 à condition que le produit extérieur.

Une caractérisation moins stricte que celle de l'algèbre de Lie abélien est celle de algèbre de Lie nilpotent; g disent-ils nilpotent si la série inférieure centrale: g > [g, g]> [[g, g] g]> [[[g, g] g] g]> ... il est réduit à zéro vecteur à partir d'un certain point partir. Par le théorème de l'algèbre de Lie Engel est nilpotent si et seulement si pour chaque u en g carte

à (u): gg

défini par

à (u) (v) = [u, v]

Il est nilpotent. Encore moins stringentemente, une algèbre de Lie g il est appelé soluble si les termes de la série dérivée: g > [g, g]> [[g, g], [g, g]]> [[[g, g], [g, g]], [[g, g], [g, g]]]> ... sont réduits à zéro vecteur à partir d'un certain point partir. Une sous-algèbre maximale résoluble est appelée Borel sous-algèbre.

Une algèbre de Lie g il est appelé semisimple si le seul idéal résoluble g Il est trivial. De manière équivalente, g est semisimple si et seulement si le soi-disant sous forme de Assassinat K(u,v) = Tr (ad (u) À (v)) Est dégénéré ici pas tr désigne l'opérateur piste.

Lorsque le champ fa Il a zéro caractéristique, g est semisimple si et seulement si chacun de sa représentation est complètement réductible, à savoir si et seulement si pour chaque sous-espace invariant de la représentation, il est un complément invariant (théorème Peter-Weyl).

algèbre de Lie est appelée simple si ce n'est pas abélien et n'a pas idéal non trivial. L'algèbre de Lie simples sont une sous-classe de semisimple, alors que l'algèbre de Lie semi-simple plus générale peut être exprimée comme une somme directe des algèbres de Lie simples.

Les algèbres de Lie semi-simples complexes sont classés par leur système racinaire.

notes

  1. ^ Nommé d'après le mathématicien russe Igor « Dmitrievitch Ado

bibliographie

  • James E. Humphreys Introduction à la algèbres de Lie et la théorie de la représentation, Deuxième impression, révisée. Textes d'études supérieures en mathématiques, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
  • Nathan Jacobson (1962): algèbres de Lie, Republication Dover Publications, New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
  • Kac Victor G., et al. al. Notes de cours pour MIT 18745 Introduction à la algèbres de Lie, [1]
  • Robert N. Cahn (1984) Semi-simple algèbres de Lie et leurs représentations, Benjamin-Cummings
  • Hans Samelson Notes sur l'algèbre de Lie

Articles connexes

  • Lie superalgèbre
  • Algèbres de Lie anionique

liens externes