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en mathématiques, un combinaison linéaire une opération est principalement utilisé dans le cadre du 'algèbre linéaire. Une combinaison linéaire de certains éléments d'un espace vectoriel est une expression du type:[1]

où le sont des éléments de l'espace vectoriel, et Ils sont scalaire. Le résultat de cette combinaison est un nouvel élément de l'espace. Ce concept très général applique dans différents contextes: par exemple, vous pouvez écrire des combinaisons linéaires de vecteurs dans le plan ou dans l'espace, matrices, de polynômes ou fonctions.

définitions

combinaison linéaire

les deux un espace vectoriel sur un terrain . Siano transporteurs . Une combinaison linéaire de ceux-ci est le vecteur identifié par l'écriture suivante:

sont des éléments scalaires, à savoir . peut être choisi scalaire dans l'expression précédente arbitraire et sont appelés coefficients de la combinaison linéaire.

affine et combinaison convexe

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: combinaison convexe.

Si le champ Il est le champ de reals et les coefficients sont tous, à savoir la non-négatif:

pour chaque , la combinaison est appelée positif.

Lorsque les coefficients ont la somme 1:

la combinaison est dite de même origine. Une combinaison linéaire des deux positif et est appelé affine combinaison convexe. Ces deux concepts sont utiles dans géométrie similaire, de définir les notions de Les coordonnées affines et coordonnées barycentriques.

propriété

Unicité de la combinaison

En règle générale, à savoir un choix générique de transporteurs , le support:

détermine pas de façon unique la combinaison linéaire, à savoir la séquence de ses coefficients: le même Il peut être le résultat des différentes combinaisons linéaires des mêmes vecteurs .

Si les transporteurs sont indépendant, la combinaison linéaire, cependant, est unique.

généré subspatial

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: généré subspatial.

transporteurs qui sont obtenus sous forme de combinaisons linéaires de des supports fixes, la variation de scalaires , former un sous-espace de , nommé sous-espace engendré. Il indique généralement:

généralisations

Les définitions de combinaison linéaire et durée linéaire Ils peuvent être généralisés par les espaces vectoriels modules ou anneaux. Par exemple, on peut parler de combinaison linéaire deux entiers et , où et Ils sont des coefficients entiers.

notes

  1. ^ (FR) Eric W. Weisstein, Combinaison linéaire, en MathWorld, Wolfram Research.

bibliographie

  • (FR) David C. Lay, L'algèbre et ses applications linéaires, 3, Addison-Wesley, 2006 ISBN 0-321-28713-4.
  • (FR) Gilbert Strang, L'algèbre et ses applications linéaires, 4, Brooks Cole, 2006 ISBN 0-03-010567-6.
  • (FR) Sheldon Axler, Algèbre linéaire Done Right, 2e, Springer, 2002 ISBN 0-387-98258-2.

Articles connexes

  • généré subspatial
  • dépendance linéaire
  • Dimension (espace vectoriel)
  • Extraction d'une base
  • combinaison linéaire des orbitales atomiques
  • combinaison convexe
  • Ensemble de générateurs
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