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en mathématiques, la linéarité est une relation qui existe entre deux ou plusieurs entités mathématiques. Intuitivement, deux quantités sont en relation linéaire entre eux s'il y a une certaine forme de proportionnalité directe.

Par exemple, la loi corrèle linéaire et si doublé, même doubles. La signification exacte du terme « linéaire », cependant, dépend du contexte dans lequel le terme est utilisé.

relation linéaire entre les vecteurs

en algèbre, n transporteurs appartenant à une espace vectoriel définie sur corps ils sont linéairement dépendants si entre eux une relation du type:

ne sont pas tous nuls.[1] Si l'égalité est satisfaite seulement les vecteurs sont linéairement indépendants. Si un transporteur Il peut être écrit comme suit:

puis est un combinaison linéaire transporteurs . En particulier, l'espace des combinaisons linéaires des vecteurs Il est appelé sous-espace engendré par ces supports, et il est sous-espace l'espace dont ces transporteurs font partie. Il est facile de montrer qu'un vecteur Il est une combinaison linéaire de ssi transporteurs Ils dépendent de façon linéaire.

Applications linéaires

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: transformation linéaire.

une application définie par un -espace vectoriel à un -espace est linéaire si, pour chaque paire d'éléments et appartenant à qui agit sur la fonction et pour chaque paire de scalaire et de sorte que cette fonction peut être multiplié, la relation suivante est vérifiée:

En général, une application qui préserve les lois de composition entre deux ensembles ayant le même structure il est dit omomorfismo. En fonction de la structure définie de ces ensembles est appelée groupe homomorphisme, anneaux, des espaces vectoriels et algèbres.

Une fonction dans les variables (Où ils sont -espaces vecteur) qui est linéaire dans toutes ses variables:

il est appelé multilinéaire. Par exemple, la produit scalaire euclidien est un forme bilinéaire.

équations linéaires

équations algébriques

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: L'équation linéaire.

A 'équation algébrique en n inconnues Il est linéaire si elle est de la forme:

où les coefficients (constantes) ne sont pas tous nuls. De manière équivalente, une équation algébrique dans l'inconnu Il est linéaire s'il est un vecteur , où est un terrain, et un élément de sorte que vous pouvez écrire:

le symbole désigne la produit scalaire Ordinaire définie sur l'espace .

Une équation linéaire peut admettre des solutions ou moins en fonction du domaine qui est requis pour appartenir aux composants de . Une équation linéaire admet toujours des solutions dans le domaine rationnel si les coefficients sont rationnels , ou dans le domaine réel si les coefficients sont réels. Ces solutions sont obtenues en plaçant dans paramètre toutes les inconnues, sauf que par rapport à laquelle il résout. Par exemple, si l'équation ci-dessus admet l'ensemble des solutions:

où vous définissez les paramètres libres .

Systèmes d'équations

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Les équations linéaires simultanées.

Un système linéaire d'équations algébriques est une collection de m équations linéaires, chacune pour n inconnues , dont les solutions sont des solutions de toutes les équations du système. De manière équivalente, l'ensemble des solutions du système est le 'intersection les ensembles de toutes les équations. A chaque système linéaire, il peut être associé à un matrice taille , dont l'élément Il représente le coefficient de 'la-e équation j-e incognita. Si donc est le 'n-transporteur qui a pour les composants inconnus, et est le 'm-vecteur des termes connus, le système entier peut écrire:

qui est équivalent à:

Un tel système peut être impossible si elle ne reconnaît pas des solutions, déterminé s'il admet une et une seule solution et indéterminé Il admet plus d'une solution. Si le terrain où vous essayez d'inconnues satisfaira cardinalité infini, un système indéterminé admet une infinité de solutions: c'est parce que l'ensemble des solutions d'un système linéaire est un semblable subspatial de . Plus précisément:

en particulier, l'espace des solutions du système homogène associé est un espace vectoriel, parce que:

Est-il un théorème qui relie la rang la matrice avec la solvabilité du système.

équations différentielles

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: équation différentielle linéaire.

A 'équation différentielle ordinaire Il est linéaire si elle est de la forme:

avec certains .

Dans ce cas, la linéarité de l'équation est exprimée dans le fait que les différents dérivés de apparaissent tous dans le premier degré (ou à zéro degré). Le terme « linéaire » est motivé par le fait que l'opérateur:

est linéaire, qui est, si il solution et il solution puis il solution . En d'autres termes, la relation suivante:

géométriques Places

la représentation cartésien d'une équation linéaire en n inconnues est un hyperplan n-1-dimensionnelle immergé dans 'n-l'espace. Par exemple, l'équation:

identifie un ligne droite sur le plan (x, y), tandis que l'équation:

Elle correspond à une plan dans l'espace (x, y, z). Ces équations sont appelées à forme implicite, où le correspondant formes explicites serait:

rapport à la coordonnée y, et:

rapport à la coordonnée z.

notes

  1. ^ la vecteur nul il est linéairement dépendants, comme il applique par exemple au rapport .

bibliographie

  • Serge Lang, algèbre linéaire, Turin, Bollati Basic Books, 1992 ISBN 88-339-5035-2.
  • (FR) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algèbre linéaire, 2nd ed, Englewood Cliffs, NJ, Prentice -.. Hall, Inc., 1971 ISBN 0-13-536821-9.
  • (FR) Arfken, G. "Une deuxième solution." dans §8.6 Méthodes mathématiques pour Physiciens, 3e éd. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467-480, 1985.

Articles connexes