s
19 708 Pages

en mathématiques, l 'identité Brahmagupta, également connu sous le nom identité fibonacci, indique que le produit deux numéros, dont chacun est le somme deux carrés nombres naturels, Elle peut être exprimée comme la somme des carré (Et de deux manières distinctes). En d'autres termes, l'ensemble des sommes de deux carrés est fermé par rapport à la multiplication. Plus précisément:

Par exemple,

cette identité Il est utilisé dans la preuve de Le théorème de Fermat sur les sommes de deux carrés. L'identité est valable dans tous les anneau commutatif, mais il est particulièrement utile dans 'ensemble de entiers.

Cette identité est un cas particulier (n = 2) dell 'Identité de Lagrange. Brahmagupta a prouvé l'identité et l'a utilisé plus général:

ce qui montre que l'ensemble de tous les nombres de la forme Il est fermé par rapport à la multiplication.

L 'identités des quatre carrés Euler Il est une identité carrée similaire avec quatre au lieu de deux. De plus, il y a un 'identité avec huit carrés, dérivé de octonions, mais pas des conséquences particulièrement intéressantes pour les entiers parce que chaque nombre naturel est la somme de quatre carrés (voir Théorème des quatre carrés). Elle est liée à la périodicité Bott.

histoire

Cette identité a été découverte par mathématique et astronome Indien Brahmagupta (598-668), que la généralisé. son travail Brahmasphutasiddhanta Il a ensuite été traduit à partir sanskrit, en arabe par Muhammad al-Fazari, comprenant en outre persan, et enfin latin en 1126.[1] L'identité est réapparue en 1225 dans le Liber quadratorum Leonardo Pisano, mieux connu sous le nom fibonacci (1170-1250). Cependant, il est possible que l'identité était déjà connue Diophante d'Alexandrie en IIIe siècle (arithmetica - III, 19).

Relations avec les nombres complexes

si a, b, c et ils sont reals, cette identité est équivalente à la multiplication des propriétés des valeurs absolues de nombres complexes:

depuis

élevant au carré les deux membres

et par l'utilisation de la définition absolue,

L'application de l'équation de Pell

Dans son contexte original, Brahmagupta appliqué sa découverte à la solution de 'L'équation de Pell,

En utilisant l'identité sous la forme la plus générale

observé que, deux dates de triplets (x1y1k1) Et (x2y2k2), Solutions de x2 - New York2 = k, alors même

Il est une solution de la même équation.

Non seulement lui a permis de créer des solutions sans fin x2 - New York2 = 1 à partir d'une solution unique, mais aussi, en divisant chaque élément de k1k2, obtenir souvent ensemble ou « solutions presque tout. » La méthode générale pour résoudre l'équation de Pell, le travail de Bhaskara en 1150, appelée méthode Chakravala est également basée sur cette identité.[2]

notes

  1. ^ George G. Joseph (2000). La crête du paon, p. 306. Princeton University Press. ISBN 0691006598.
  2. ^ John Stillwell, Mathématiques et son histoire, 2e éd., Springer, 2002, pp. 72-76, ISBN 978-0-387-95336-6.

liens externes