s
19 708 Pages

en mathématiques, un espace de lentille est un particulier variété elliptique. Il est 3-variétés ayant une structure de variété riemannienne avec courbure transversale partout égal à +1. Un espace de lentille est indiquée par

et il dépend d'une paire de entiers premiers entre eux . Les espaces de lentilles sont particulièrement simples 3-variété, qui groupe fondamental est un groupe cyclique fini.

définition

les deux l 'hypersphère en . en identifiant avec , cela peut être défini comme

les deux une paire de entiers premiers entre eux, avec 0 « />. les deux la racine de l'unité

Même l'élément est un racine primitive -e unité. Tenir compte du «l'application linéaire

la carte est un isomorphie linéaire sur . parce que , la préserve la norme des vecteurs et envoie lui-même. Letta sur , Elle est représentée par un matrice orthogonale . Il est donc isométrie de conserve en particulier, et il se réduit à une isométrie de

la isométrique génère un groupe de isometries

isomorphe groupe cyclique ordre . la espace de lentille est le espace quotient par rapport à ce groupe d'isométrie.

propriété

Variété elliptique

Le groupe d'isométrie généré par actes de façon gratuit et proprement discontinue. Le quotient est donc topologique variété compact et la saillie

est un revêtement. Tel est le investissement universel, parce que il est simplement connecté.

depuis le est une vue isométrique, le quotient hérite d'une structure de variété riemannienne. comment , ce qui a courbure transversale partout égal à 1 et est donc un exemple de variété elliptique.

groupe fondamental

la groupe fondamental de Il est isomorphe groupe cyclique .

Dépendance à l'égard des paramètres

les espaces et :

  • Ils ont le même groupe fondamental ssi ;
  • ils sont isométriques si et seulement si elles sont homéomorphe, et cela se produit si et seulement si et
  • ils sont équivalent omotopicamente ssi et

Comme il est écrit, le plus souvent il est censé q> 0} « />.

Parmi les espaces lenticulaires sont donc des exemples de variétés de dimension 3 avec le même groupe fondamental, mais pas omotopicamente équivalent, par exemple

et la variété omotopicamente équivalent mais pas homéomorphe, par exemple

à Vous Obtenue uniquement la variété ; dans ce cas, la fonction est le carte antipode et ensuite le quotient est le espace projectif réel

géométrisation

Un espace de lentilles est toujours 3-variété irréductible et premier.

pour la conjecture de géométrisation de Thurston, démontrée par Grigori Perelman, un compact ayant un groupe cyclique fini fondamental 3-variété est nécessairement un espace de lentille.

Articles connexes