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Conjecture poincaré
Pour les surfaces deux dimensions compact et sans frontière, si tous les route fermée il peut être contrat jusqu'à ce qu'il devienne un point, la surface est topologiquement homéomorphe à une 2-sphère (normalement appelée simplement balle). La conjecture de Poincaré affirme que la même chose est valable pour les zones À trois dimensions.

la conjecture de Poincaré Il a été considéré tout au long de la mi[lequel?] la XX siècle l'un des problèmes les plus importants de topologie, démontrée par Grigori Perelman en 2003.

La motivation et la déclaration de la conjecture

en 1904 Henri Poincaré Il travaillait sur les bases de ce qu'on appellera plus tard topologie algébrique. En particulier, il a étudié les propriétés et les caractéristiques de la topologique balle.

Poincaré avait mis au point un outil mathématique appelé homologie, qui a distingué et a permis de classer tous topologiquement variété de taille 2. conjecturé d'abord un phénomène similaire en taille 3, à savoir que l'homologie distinguer au moins la sphère en trois dimensions d'autres variétés. Il est vite rendu compte qu'il avait tort, car il a réussi à construire une 3-variétés, plus tard appelé sphère poincaré, avec la même homologie de la 3-sphère, mais pas homéomorphe à elle. Les espaces de ce type (il y a effectivement infini) sont maintenant appelés sphères d'homologie.

Puis mis au point un Poincare nouvel outil, d'une manière plus raffinée, appelée groupe fondamental. Il a ensuite demandé si cet outil était suffisant pour distinguer la sphère en trois dimensions à partir d'autres variétés. Poincare n'a jamais dit explicitement qu'ils croient en revanche, la déclaration suivante, ce qui a disparu dans l'histoire comme la conjecture de Poincaré.

proposition

La déclaration de la conjecture est la suivante:

chaque 3-variétés simplement connecté fermé (c. compact et sans bords) est homéomorphe une sphère en trois dimensions.

Ce terme particulier, la conjecture dit que la 3-sphère est le seul collecteur en trois dimensions « sans trous », lorsque tout route fermée il peut être contrat pour devenir un point.

Histoire des solutions proposées

De Whitehead Thurston

Dans un premier temps ce problème a été négligé jusque dans 1930 J.H.C. Whitehead Il a ravivé l'intérêt dans la conjecture avant de proposer une solution. Puis il se rendit compte que la solution était correcte, mais ses études ont conduit à la découverte d'exemples intéressants de variétés qui ont conduit à la variété de Whitehead.

parmi les la cinquantaine et soixante de nombreux mathématiciens ont relevé le défi, mais, tout en obtenant des résultats significatifs dans le domaine de la topologie et les variétés, ils ont échoué à prouver ou à réfuter la conjecture.

Au fil du temps la conjecture a acquis la réputation d'être une conjecture très difficile à prouver, en dépit d'une formulation relativement simple. Cela induit à être très prudent dans les annonces liées à la conjecture de Poincaré comme des erreurs parfois très minces rendus inutiles les démonstrations les plus célèbres mathématiciens. Malgré les nombreuses précautions années quatre-vingt et quatre-vingt dix Il y avait des annonces avec des solutions imaginaires, qui se sont révélées inexactes. Dans le même temps, la conjecture de Poincaré a été insérée par William Thurston dans le cadre d'une conjecture plus large qui couvre tous les 3 variétés: conjecture de géométrisation.

L'Institut Clay et Perel'man

en 2000 la Clay Mathematics Institute Il a décidé d'inclure la Conjecture entre Poincare Problèmes pour le millénaire puis d'offrir un million de dollars à ceux qui avaient prouvé la conjecture elle-même. Ce prix met également en évidence la portée de la conjecture de Poincaré, en particulier pour des raisons pratiques: tous les problèmes du prix du millénaire aurait des applications immédiates, à la fois théorique et technologique. La conjecture de Poincaré aurait un impact sur une éventuelle topologies de la théorie des cordes et les diverses autres théories de la gravité quantique.

Il semblait que la Conjecture pourrait être Poincare le premier prix. en Avril 2002 En fait, un premier article de M.J.Dunwoody a proposé une première démonstration, qui, cependant, a donné tort. Après deux articles Grigori Perelman Steklov Institut de mathématiques de Saint-Pétersbourg Ils semblaient plus prometteurs. Dans le premier, Perel'man a affirmé avoir prouvé le plus général conjecture de géométrisation de Thurston, la poursuite d'un programme entrepris par Richard Hamilton. en 2003, Il a publié un deuxième article, à commencer une série de conférences dans la États-Unis. en 2004 ses techniques ont été analysées et ont créé un grand intérêt, pour certains liens avec les sujets physique théorique, et ils ont de la convaincre que l'attaque la plus grave que la Conjecture avait jamais Poincare reçu.

Entre 2003 et 2006, ils ont été publiés ou en réseau des expositions de travail détaillés Perel'man, élaborés par des mathématiciens: les premières notes de Kleiner et Lott, puis au printemps 2006 un article de Huai-Dong Cao et Zhu Xiping sur 'Journal de mathématiques asiatique et un article de Morgan et Tian. Les travaux de Perel'man ont ensuite été reconnu par la communauté mathématique adéquate pour la démonstration, mais le russe a refusé à la fois Médaille Fields, le 22 Août 2006, les deux prix Clay pour un million de dollars.[1]

La conjecture de Poincaré dans les autres dimensions

Une formulation de la conjecture de Poincaré n la taille est la suivante:

chaque variétés fermées n dimensions équivalent omotopicamente un n-balle Il est homéomorphe à n-balle.

Cette définition est équivalente à la conjecture de Poincaré dans le cas n = 3. Les plus grandes difficultés se posent pour la taille n = 3 et n = 4. Le cas n = 1 est trivial, et le cas n = 2 a été démontré avec facilité. Stephen Smale cas prouvés avec n ≥ 7 en 1960 et plus tard étendu à la manifestation n ≥ 5; pour ces travaux a remporté le médaille Fields en 1966. Michael Freedman Il a résolu la conjecture dans le cas n = 4 en 1982 et a reçu la médaille Fields pour cela dans 1986.

La conjecture de géométrisation

La conjecture de Poincaré est liée à la classification des variétés en 3 dimensions. Pour le général « classement des variétés en 3 dimensions » fait référence à la possibilité de créer une liste contenant toutes les variétés possibles sans homéomorphismes ou répétitions. Avoir des résultats dans une classification équivaut à déterminer si une variété est homéomorphe à une autre variété.

la conjecture de géométrisation de Thurston Il contient comme un cas particulier la conjecture de Poincaré. Elle implique également la possibilité de classer toute variété en 3 dimensions.

notes

bibliographie

  • Donal O'Shea: La Conjecture de Poincaré (Titre original: La conjecture de Poincaré) Rizzoli, 2007 (essai informatif)
  • George G. Szpiro: L'énigme de Poincaré (Titre original: Prix ​​de poincaré) Apogée 2008 (essai informatif)

Articles connexes

  • Problèmes pour le millénaire
  • Prix ​​Clay
  • problèmes Smale
  • Les problèmes de Hilbert

liens externes