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3-variétés
A 3-variété hyperbolique Vue de l'intérieur.

en géométrie, un 3-variétés est un différentiables 3. taille Officieusement, il est « possible univers« : Un espace à trois dimensions qui est localement similaire à l'espace en trois dimensions telle qu'elle est perçue par l'homme, dont la structure générale, cependant, peut être très différent et difficile à l'intuition.

L'étude de 3-variété est une branche importante de topologie de la faible taille. Il a des liens étroits avec la théorie des nœuds et géométrie hyperbolique. Les instruments utilisés dans l'étude des variétés de dimension 3 sont nombreux: parmi eux, le groupe fondamental (Qui capture une grande partie de la structure de variété), l'étude de surfaces (En particulier surfaces incompressibles) Et la géométrie hyperbolique.

définition

un 3-variétés est un différentiables ou topologique 3. taille est l'adjectif « topologique » ou « dérivable », le cas échéant, de préciser quelle variété il est; En effet, la différence entre les deux notions de dimension 3 est minime: une variété différentiable est également topologique (ce qui est valable dans toutes ses dimensions), et vice versa chaque topologique de variété peut être équipé d'une structure unique différentiables moins difféomorphisme (Ceci est valable seulement dans la taille 2 et 3). Pour cette raison, l'adjectif est généralement omis.

De même, un 3-variétés avec bordure est un variétés avec bordure taille 3. Souvent, une 3-variété avec le bord est simplement appelé 3-variétés.

Exemples

A l'intérieur espace euclidien

la espace euclidien est un 3-collecteurs. chaque sous-ensemble ouvert de l'espace euclidien est un 3-collecteurs. Par exemple, la balle

ou le complément d'un nœud.

L'espace en trois dimensions contient également de nombreuses variétés de dimension 3 avec limite. Par exemple, le disque fermé

dont le bord est le balle bidimensionnel

3-variétés
un handlebody 2 sexes.

ou tores solides, dont le bord est le taureau. De manière plus générale, un handlebody, dont le bord est un surface réglable de genre arbitraire.

L'espace euclidien ne contient pas variétés fermées, à savoir compact et sans frontières.

sphère

Les variétés 3 simples qui ne figure pas dans l'espace euclidien est la balle en trois dimensions (parfois appelé hypersphère)

Il est un 3-collecteurs fermés simplement connecté.

espaces lenticulaires

la espaces de lentilles sont les 3-variétés ayant fermé de plus simple groupe fondamental. L'espace de l'objectif est un 3-collecteurs définis comme espace quotient de à travers un 'action la groupe cyclique . L'espace est défini pour chaque paire de entiers premiers entre eux . Il est un collecteur fermé, dont groupe fondamental il est .

à le 3-collecteurs est la sphère , tandis que il est le espace projectif réelle en trois dimensions .

Taureau

Un autre 3-collecteurs variété généralisante de plus petite taille est tores en trois dimensions

son groupe fondamental il est . De manière plus générale, la produit un surface avec circonférence est un 3-collecteurs avec un groupe fondamental infini.

visualisation

Une surface peut être facilement affiché par un design, et si vous réglable Il peut être décrit entièrement dans l'espace à trois dimensions. Également en vedette est moins homéomorphisme simplement par son genre.

Décrire et afficher une 3-variété est plus difficile. Il y a une simple généralisation du concept de genre qui peut facilement classer. Donc, il existe différentes techniques pour construire et décrire complètement un 3-collecteurs.

triangulation

Chaque 3-variété admet un compact triangulation. Il peut donc être décrit de telle manière combinatoires, à partir d'une liste de données décrivant la tétraèdres et la façon dont les faces triangulaires de ceux-ci sont identifiés par paires. Cette description combinatoire a été utilisé depuis le années quatre-vingt dans divers programmes ordinateur.

Chirurgie Dehn

un lien en (Plus précisément, ), Où chacun a un composant nombre rationnel attribué, il décrit un 3-variétés. Ceci est la souche obtenue par chirurgie de Dehn fait le lien: la chirurgie consiste à enlever autour de chaque composant d'un lien tores solides, obtenu « gras » légèrement le composant (le tore solide est une petite autour tubulaire de la présente), et le reincollare solide le long d'un taureau plan différent. Le choix de la carte dépend du nombre rationnel.

schéma Heegaard

Chaque 3-variété est une liaison pouvant être obtenu deux corps avec poignées et ayant la même genre le long du bord, à travers un homéomorphisme

Cette construction est appelée la décomposition Heegaard. La décomposition peut être décrite par le dessin et en précisant certains sur son conseil d'administration courbes Perlage un disque à l'intérieur .

Décomposition et géométrique

pour la théorème de Riemann d'uniformisation, chaque surface admet une structure de variété riemannienne plein avec courbure transversale constant 1, 0 ou -1. Chaque surface a donc une structure de variété elliptique, plat ou hyperbolique complète.

un similaire uniformité existe aussi pour les 3 variétés: conjecturé William Thurston le début de années quatre-vingt, Il a été démontré par Grigori Perelman en 2002. la géométrisation Thurston Il affirme que tous les 3-variété se décompose de longues balles et des taureaux en morceaux qui admettent une métrique homogène. La décomposition des longues balles et des taureaux, déjà connu dans le soixante-dix, Il est à décomposition premier pour somme connexe (Sphères) et décomposition JSJ (taureaux).

Le long de sphères

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Premier décomposition.

La décomposition des longues balles est énoncée par décomposition premier. Le théorème affirme que le comportement de 3 variétés dans le cadre de l'opération somme connexe Il est similaire au comportement de entiers que le produit: il est dans les mêmes effets dans le Théorème fondamental de l'algèbre.

Le théorème que tous les 3-collecteurs et pivotant fermés Il admet une écriture unique somme connexe

variété premier, dire des variétés qui ne se présente pas à une somme connexe non négligeable.

Le long de taureaux

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: décomposition JSJ.

La décomposition est connue des taureaux avec le nom de décomposition JSJ, du nom des mathématiciens Jaco, Shalen et Johannson qui ont décrit dans les 70 tous les 3-collecteurs d'abord il contient un ensemble de taureaux incompressibles disjoints , avec la propriété

  1. tout autre tore incompressible est disjointe de ceux-ci, après une convenable isotopie,
  2. L'ensemble est maximal par rapport à la propriété 1.

géométrisation

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: conjecture de géométrisation.

Les taureaux de la décomposition JSJ séparant une variété avant de nombreux blocs. Chaque bloc est une variété compacte, dont le bord est une union de taureaux disjoints. la conjecture de géométrisation de Thurston affirme que la partie intérieure de chacun de ces blocs admet une riemannienne homogène. Il existe trois types de taille 8 riemannienne de ce type: 3 d'entre eux sont les géométries elliptiques, plates et hyperboliques.

Conjecture poincaré

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Conjecture poincaré.

la conjecture de Poincaré Il est un cas particulier de la conjecture de Thurston, et est donc aussi été démontrée par Perelman en 2002. La conjecture affirme que est le seul fermé simplement connectés 3-variétés.

Exemples

ellipticals

Les 3-variétés fermées sont elliptiques précisément les variétés de dimension 3 avec groupe fondamental fini. Parmi ceux-ci, la sphère, l'espace projectif, et plus généralement tout l'espace de l'objectif. De manière plus générale, une telle variété est obtenue comme le quotient de à travers un groupe de isometries que actes librement et correctement discontinue. Le groupe de isometries est le groupe spécial orthogonal , et tous ses sous-groupes de ce type ont été classés comme John Milnor en sixties.

hyperbolique

L'étude des variétés de dimension 3 hyperboliques, a émergé avec le travail de Thurston de la fin soixante-dix, Il est considéré comme beaucoup plus intéressant parmi les mathématiciens. Parmi les huit géométries homogènes, hyperbolique, il montre comme les plus riches. Alors que les variétés des sept autres géométries ont déjà été classés par la la cinquantaine, il n'y a toujours pas de classement satisfaisant des variétés hyperboliques.

Collecteur 3-hyperbolique est obtenu comme le quotient de espace hyperbolique à travers un groupe de isometries que actes librement et correctement discontinue. Le groupe des isométries qui préservent l 'orientation de Il est isomorphe au groupe de transformations Möbius, un groupe important analyse complexe et la géométrie projective.

Platte

la variété Il admet (comme tous les produits d'un nombre arbitraire de circonférences) une variété de structure plate; Il est obtenu quotient espace euclidien via le groupe isométrie donné par l'ensemble des décalages sur les trois axes.

D'autres géométries

la variété obtenu comme le produit d'une surface de genre supérieur à un et une circonférence admet un des 5 paramètres homogènes restants.

bibliographie

  • William Jaco, Conférences sur la topologie 3-collecteur, ISBN 0-8218-1693-4.
  • William Thurston, la géométrie et la topologie en trois dimensions. Vol. 1, Princeton Série mathématique, nº 35, Princeton University Press, 1997 ISBN 0-691-08304-5.

Articles connexes

  • Topologie faible taille

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